Er problemtørke her for tiden (antar alle er fullt opptatt med å forberede seg for neste skolehalvår) så snapper to morsomme oppgaver fra en pensumbok, de skal være fullstendig løselige med litt kjennskap til topologi:
Først litt notasjon:
Et topologisk rom X er irredusibelt dersom X ikke kan skrives som unionen av to lukkede ekte undermengder. Dvs, hvis A og B er lukket i X, så medfører
A U B = X at A = X eller B = X.
F.eks er de irredusible delmengdene til R i standardtopologien den tomme mengden og ettpunktsmengdene.
Vi lar dimensjonen til et topologisk rom X, dim X, være supremum av lengden på ekte kjeder av irredusible lukkede delmengder. Dvs, supremum av n slik at det finnes lukkede irredusible delmengder [tex]Z_i[/tex] for [tex]0 \leq i \leq n[/tex] slik at [tex]Z_0 \subset Z_1 \subset ... \subset Z_n \subseteq X[/tex]. Noen rom har uendelig dimensjon.
1) La X være et topologisk rom, og [tex]\{ U_i \}[/tex] en åpen dekning av X. Vis at
[tex]\dim X = \sup \dim U_i[/tex]
Et topologisk rom X er noethersk dersom enhver familie av lukkede delmengder har et minimalt element. En mengde i en familie er minimal dersom ingen andre elementer i familien er ekte inneholdt i mengden.
F.eks er ethvert endelig rom noethersk, og enhver mengde i endelig-komplementstopologien noethersk.
2) Finn et noethersk rom X med uendelig dimensjon.
Dimensjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Prøver på 2, vet ikke om dette blir riktig.. Men vil ikke ethvert lukket delintervall av [tex]\mathbb R[/tex] kunne ha uendelig dimensjon? Hvis vi lar X være enhetsintervallet [0,1], og forsyner X med en topologi der vi lar X, [tex]\emptyset [/tex] og delmengdene [1/n, 1] for positive, heltallige n, være lukkede. Da vil kjeden [tex][1,1]\subset \left[\frac12,1\right]\subset \left[\frac13,1\right] \subset \cdots \subset \left[\frac1n,1\right]\subset\cdots[/tex] bestå av distinkte, irredusible delmengder av X, og følgelig er X et uendelig-dimensjonalt noethersk topologisk rom.