Janhaa skrev:Oppfølgerintegral som Charlatan presentert en gang, men som forblei
uløst:
[tex]I=\int \frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan x}} \rm{d}x[/tex]
[tex] \tan(x)=t^2 \rightarrow \sec^2(x)\,\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t \leftrightarrow (1+tan^2(x))\,\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t \rightarrow \,\mathrm{d}x = \frac{2t\,\mathrm{d}t}{1+t^4}[/tex]
[tex]I=\int \frac{t^2 2t\,\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}(1+t^4)}[/tex]
[tex]u^2 = (1+t^2) \rightarrow 2u\,\mathrm{d}u = 2tdt[/tex]
[tex]I = \int \frac{2(u^2-1)\,\mathrm{d}u}{(1+(u^2-1)^2)} = \int \frac{2(u^2-1)\,\mathrm{d}u}{\left(u^2-(1+i)\right)\left(u^2-(1-i)\right)}[/tex]
Delbrøksoppspalting gir [tex]A = B = \frac12[/tex], ergo
[tex]\int \left(\frac{1}{\left(u^2+(-1-i)\right)}+\frac{1}{\left(u^2+(-1+i)\right)}\right)\,\mathrm{d}u[/tex]
Faktoriser ut [tex](1+i)[/tex] og [tex](1-i)[/tex] fra hver av nevnerne, respektivt, og innfør nye variabler for hvert "delintegral"
[tex]v_1 = \frac{x}{\sqrt{-1-i}},\quad v_2 = \frac{x}{\sqrt{-1+i}}[/tex], og få
[tex] I = I_1+I_2 = \frac{1}{\sqrt{-1-i}} \int \frac{1}{v_1^2+1}\,\mathrm{d}v_1 + \frac{1}{\sqrt{-1+i}} \int \frac{1}{v_2^2+1}\,\mathrm{d}v_2[/tex]
som gir
[tex] I = \frac{\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{-1-i}}\right)}{\sqrt{-1-i}} + \frac{\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{-1+i}}\right)}{\sqrt{-1+i}}[/tex]
som jeg håper er riktig :p
(Og hvis det viser deg å være riktig så får vel neste integral bli
[tex]I = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\,\mathrm{d}x[/tex], som har en artig vei til løsningen
)
