La [tex]S_n[/tex] være settet som inneholder alle ordnede n-tupler [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] som er slik at [tex]\sum_{i=1}^n a_i = 0[/tex]. For eksempel er [tex](1,1,-2)\in S_3[/tex].
1) Har [tex]S_n[/tex] en dimensjon? Hvis ja, hva er den?
2) Kan man konstruere en ortogonal basis for [tex]S_n[/tex]?
Ordnede n-tupler
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er lett å se at [tex]S_n[/tex] er et underrom av [tex]\R^n[/tex]. Vi må ha [tex]\dim S_n < n[/tex] - for ellers ville hele [tex]\R^n[/tex] vært dekt, og det er lett å finne vektorer som ikke tilfredsstiller [tex]\sum a_i =0[/tex].
Alle vektorrom har en basis, så ja - [tex]S_n[/tex] har en dimensjon. Dimensjonen er endelig siden [tex]S_n[/tex] er et underrom av [tex]\R^n[/tex].
In fact: [tex]\dim S_n = n-1[/tex]. Dette ser vi ved å konstruere en basis:
[tex]v_1=(1,1,\cdots,-n+1)[/tex]
[tex]v_2=(1,1,\cdots,-n+2,0)[/tex]
osv til
[tex]v_{n-1}=(-1,1,0,\cdots,0)[/tex]
Og ja, underrommet har en ortonormal basis. Denne kan vi finne vha Gram-Schmidt http://en.wikipedia.org/wiki/Gram–Schmidt_process
Alle vektorrom har en basis, så ja - [tex]S_n[/tex] har en dimensjon. Dimensjonen er endelig siden [tex]S_n[/tex] er et underrom av [tex]\R^n[/tex].
In fact: [tex]\dim S_n = n-1[/tex]. Dette ser vi ved å konstruere en basis:
[tex]v_1=(1,1,\cdots,-n+1)[/tex]
[tex]v_2=(1,1,\cdots,-n+2,0)[/tex]
osv til
[tex]v_{n-1}=(-1,1,0,\cdots,0)[/tex]
Og ja, underrommet har en ortonormal basis. Denne kan vi finne vha Gram-Schmidt http://en.wikipedia.org/wiki/Gram–Schmidt_process
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ser bra ut dette. 
Interessant oppgave, forresten.
I [tex]\R^2[/tex] er dette underrommet bare gitt med linjen [tex]x-y=0[/tex]. Synd vi kun lever i to dimensjoner...
På samme måte kan vi se på mengden av polynomer hvor koeffisientene summerer til 0. Dette blir et ideal [tex]I[/tex] i [tex]A[x][/tex] (A en hvilken som helst ring, eller modul for den saks skyld) for om [tex]f,g \in I[/tex], så er også [tex]f+g[/tex] der:
[tex]\sum (a_i+ b_i) = \sum a_i+\sum b_i[/tex]
Ekvivalent: alle polynomer [tex]f[/tex] slik at [tex]f(1)=0[/tex]. Man kan tenke seg at man har tatt alle polynomer uten konstantledd og så utført transformasjonen [tex]x \mapsto x-1[/tex].
Den siste observasjonen forteller oss at å studere denne undermengden av polynomer er det samme som å studere polynomer uten konstantledd.
Hehe, nå ble jeg litt revet med :P Sitter og leser til eksamen i et annet, kjedeligere, fag - så når jeg plutselig får lov til å snakke om polynomringer...
I [tex]\R^2[/tex] er dette underrommet bare gitt med linjen [tex]x-y=0[/tex]. Synd vi kun lever i to dimensjoner...
På samme måte kan vi se på mengden av polynomer hvor koeffisientene summerer til 0. Dette blir et ideal [tex]I[/tex] i [tex]A[x][/tex] (A en hvilken som helst ring, eller modul for den saks skyld) for om [tex]f,g \in I[/tex], så er også [tex]f+g[/tex] der:
[tex]\sum (a_i+ b_i) = \sum a_i+\sum b_i[/tex]
Ekvivalent: alle polynomer [tex]f[/tex] slik at [tex]f(1)=0[/tex]. Man kan tenke seg at man har tatt alle polynomer uten konstantledd og så utført transformasjonen [tex]x \mapsto x-1[/tex].
Den siste observasjonen forteller oss at å studere denne undermengden av polynomer er det samme som å studere polynomer uten konstantledd.
Hehe, nå ble jeg litt revet med :P Sitter og leser til eksamen i et annet, kjedeligere, fag - så når jeg plutselig får lov til å snakke om polynomringer...
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Alternativt: si at [tex]a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}[/tex] er frie variabler i den forstand at samme hva vi velger dem til finnes det et entydig valg av [tex]a_n[/tex] som gir et passende n-tuppel, sä dette er et vektorrom isomorft med [tex]\mathbb R ^{n-1}[/tex].