Tre tilfeldige punkter og arealet mellom dem

[Nebuchadnezzar]

Det var kø på bussen og satt dermed og kjedet meg. Så kom jeg på at jeg irriterte med over og ikke finne noen enkel formel for arealet mellom tre punkter. Grublet litt på bussen og kom frem til at vi alltid kan legge et av punktene i origo for å gjøre regningen enklere.

Så problemstillingen jeg kom frem til var.

"Gitt tre tilfeldige punkter i et todimensjonalt koordinatsystem, hva er arealet mellom dem når [tex]A(0,0) \, , \, B(c,d) \, , \, C(a,b)[/tex]?"

Kom frem til denne utregningen, men er den generell nok? Gjelder den alltid? Og kan man gjøre dette for tre dimensjoner? Hvorfor finner jeg ikke denne "formelen" i regelboken min ?

[tex]A\left( {0,0} \right){\rm{ }}{\rm{, B}}\left( {c,d} \right){\rm{ og C}}\left( {a,b} \right) [/tex]

Stigningstallet mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er

[tex] k = \frac{{{y_1} - {y_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \frac{{\left( d \right) - \left( 0 \right)}}{{\left( c \right) - \left( 0 \right)}} = \frac{d}{c} [/tex]

Ei linje gjennom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] , denne finner vi ved ettpunktsformelen

[tex] y = a\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} [/tex]

[tex] y = \frac{d}{c}\left( {x - c} \right) + d = \frac{d}{c}x [/tex]

Finner vi en linje gjennom [tex]C[/tex] som står vinkelrett på [tex]AB[/tex]

Den vil da ha stigningstallet [tex]k = - \frac{c}{d} [/tex]

Linja blir dermed

[tex] y = - \frac{c}{d}\left( {x - a} \right) + b = - \frac{c}{d}x + \frac{{ac + db}}{d} [/tex]

Så finner vi skjæringspunktene mellom linjene, kaller punktet for [tex]P[/tex]

[tex] - \frac{c}{d}x + \frac{{ac + db}}{d} = \frac{d}{c}x [/tex]

[tex] \frac{{{\rm{ac + db}}}}{{\rm{d}}}{\rm{ = }}\left( {\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{cd}}}}} \right){\rm{x}} [/tex]

[tex] x = \frac{{c\left( {ac + db} \right)}}{{{d^2} + {c^2}}} [/tex]

Dette er x-verdien til [tex]P [/tex], så finner vi y-verdien

[tex]y = \frac{d}{c}x [/tex]

[tex] y = \frac{d}{c}\frac{{c\left( {ac + db} \right)}}{{{d^2} + {c^2}}} = \frac{{d\left( {ac + db} \right)}}{{{d^2} + {c^2}}} [/tex]

Først finner vi avstanden [tex]AB[/tex] lett

[tex] AB = \sqrt {{c^2} + {d^2}} [/tex]

Finner vi avstanden [tex]CP[/tex]

[tex] CP = \sqrt {{{\left( {\left( a \right) - \left( {\frac{{c\left( {ac + db} \right)}}{{{d^2} + {c^2}}}} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\left( b \right) - \left( {\frac{{d\left( {ac + db} \right)}}{{{d^2} + {c^2}}}} \right)} \right)}^2}} [/tex]

[tex] CP = \sqrt {{{\left( {\frac{{d\left( {ad - cb} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{\left( { - b{c^2} - b{d^2} + a{c^2} + cdb} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}} \right)}^2}} [/tex]

[tex] CP = \sqrt {\frac{{{{\left( {ad - cb} \right)}^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}} [/tex]

Arealet blir dermed

[tex] A = \frac{{gh}}{2} = \frac{{\left| {AB} \right| \cdot \left| {CP} \right|}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {{c^2} + {d^2}} \sqrt {\frac{{{{\left( {ad - cb} \right)}^2}}}{{{c^2} + {d^2}}}} = \underline{\underline {\frac{1}{2}\left| {ad - cb} \right|}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ Arealet mellom tre punkter som er gitt ved A}}\left( {0,0} \right){\rm{ }}{\rm{, B}}\left( {c,d} \right)\,{\rm{ og C}}\left( {a,b} \right){\rm{ er }}\,\frac{1}{2}\left| {ad - cb} \right|}\;} [/tex]

[tex][tex][/tex] Q.E.D

[Vektormannen]

Beviset ditt ser bra ut, og sammenhengen du kommer frem til vil gjelde for alle punkter i planet.

Den generelle sammenhengen, som du lærer i R2 en gang, er at [tex]A = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|[/tex]. Denne sammenhengen gjelder også i tre dimensjoner. Men da blir uttrykket noe styggere enn det du kom frem til.

Men for all del, genialt at du kom frem til dette på denne måten!

Her er et mer ... vektororientert bevis:

[tex]A = \frac{1}{2}|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \sin \theta[/tex], hvor [tex]\theta[/tex] betegner vinkelen mellom [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex].

Men [tex]\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\right)^2} = \frac{\sqrt{|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{(c^2 + d^2)(a^2 + b^2) - (ac + bd)^2}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{\sqrt{(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 - (ac)^2 - 2abcd - (bd)^2}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{(ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} = \frac{\sqrt{(ad - bc)^2}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} = \frac{|ad - bc|}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}[/tex]

Ved innsetting i arealuttrykket strykes lengdene av [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex] mot hverandre og vi får

[tex]A = \frac{1}{2}|ad - bc|[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Ser at du redigerte tilfellet ditt altså med det tilfellet der [tex]ad-cb=0[/tex]

Prøvde å finne tilfeller der arealet ble null, men fant bare ut at dette skjedde når A,B og C ligger på linje. Hva var grunnen til at du redigerte det bort, og hvordan kan man "Drøfte" dette tilfellet skikkelig?

Siste spørsmålet, linje du går på? Og er det artig ^^

[Vektormannen]

Jeg redigerte bort det tilfellet fordi jeg tenkte feil... Dersom ad - bc = 0 så ligger punktene på linje som du sier, og formelen gir det korrekte arealet 0. Du kan jo prøve å vise dette; at [tex]ad - bc = 0 \ \Leftrightarrow \ \text{A, B og C ligger paa linje}[/tex].

Jeg går første semester på 'Lektorutdanning i Realfag' på NTNU. Du kan lese mer om det her. Kort sagt er det en femårig integrert utdanning hvor du spesialiserer deg i to fag og tar master i ett av dem. Samtidig får du den nødvendige pedagogikken som trengs for å undervise fra 5. klasse til VGS og evt. høgskole. Så langt er jeg veldig fornøyd med opplegget.

[FredrikM]

Og kan man gjøre dette for tre dimensjoner?

Det gir egentlig ikke mening å finne arealet til en trekant i tre dimensjoner. En trekant er et todimensjonalt objekt. Du kan alltids "vri" koordinatsystemet slik at du kan bruke samme ligning som du har funnet her.

[Vektormannen]

Man kan jo legge et plan parallellt med vektorene mellom de tre punktene. Jeg antar han mener arealet av den trekanten disse da utgjør i planet? Det vil ha areal gitt ved [tex]\frac{1}{2}|\vec{AB}| \times |\vec{AC}|[/tex] (som er en mer generell formel for det Nebuchadnezzar fant for to dimensjoner.)