Atter en ulikhet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La a, b, c være positive, reelle tall. Vis at [tex]\left ( \frac {2a} {b+c} \right ) ^{\frac 2 3} + \left ( \frac {2b} {a+c} \right ) ^{\frac 2 3} + \left ( \frac {2c} {a+b} \right ) ^{\frac 2 3} \geq 3[/tex]
Last edited by Karl_Erik on 08/11-2010 18:32, edited 1 time in total.
[tex]\left( \frac{2a}{b+c} \right)^{\frac{2}{3}} \geq \frac{3a}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{4a^2}{(b+c)^2} \geq \frac{a^3}{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3} \Leftrightarrow 4 \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3 \geq a(b+c)^2[/tex]
Av homogenitet kan vi anta at a + b + c = 3. Vi får da at den siste ulikheten er ekvivalent med
[tex]4 \geq a(3-a)^2 \Leftrightarrow -a^3+6a^2-9a+4 \geq 0[/tex]
Men [tex]-a^3+6a^2-9a+4 = (a-1)^2(4-a)[/tex], så sistnevnte ulikhet stemmer siden [tex]a \leq 3[/tex].
Et tilsvarende argument kan føres for de andre leddene, og vi har
[tex]\left( \frac{2a}{b+c} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{2b}{a+c} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{2c}{a+b} \right)^{\frac{2}{3}} \geq \frac{3a}{a+b+c}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{3c}{a+b+c}=3[/tex].
Av homogenitet kan vi anta at a + b + c = 3. Vi får da at den siste ulikheten er ekvivalent med
[tex]4 \geq a(3-a)^2 \Leftrightarrow -a^3+6a^2-9a+4 \geq 0[/tex]
Men [tex]-a^3+6a^2-9a+4 = (a-1)^2(4-a)[/tex], så sistnevnte ulikhet stemmer siden [tex]a \leq 3[/tex].
Et tilsvarende argument kan føres for de andre leddene, og vi har
[tex]\left( \frac{2a}{b+c} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{2b}{a+c} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( \frac{2c}{a+b} \right)^{\frac{2}{3}} \geq \frac{3a}{a+b+c}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{3c}{a+b+c}=3[/tex].
Dette er helt riktig det. Du kan forøvrig vise den siste ulikheten ved AM-GM også - [tex]4 \left ( \frac {a+b+c} 3 \right ) ^3 \geq a(b+c)^2 \Leftrightarrow \left ( \frac {a+\frac {b+c} 2 + \frac {b+c} 2} 3 \right ) ^3 \geq a \left ( \frac {b+c} 2 \right ) \cdot \left (\frac {b+c} 2 \right )[/tex]