Ikkearitmetisk, men nesten aritmetisk fölge
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg antar her at konstante følger ikke regnes som aritmetiske følger. La [tex](d_{1k}),(d_{2k}),...[/tex] ([tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]) være de aritmetiske følgene (det er tellbart mange) der vi kan anta at [tex](d_{1k})=(k)[/tex], og [tex](d_{2k})=(2k)[/tex]. Vi merker oss at for ethvert tall N inneholder en aritmetisk følge et element [tex]d_{nk} >N[/tex].
La [tex]a_1=1[/tex] og [tex]a_2 = 2[/tex] (i hvilket tilfelle [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] ligger i de aritmetiske følgene [tex](d_{1k})[/tex] og [tex](d_{2k})[/tex] respektivt. Anta at vi har valgt elementer [tex]a_1,a_2,...,a_{n-1}[/tex] s.a. 3 elementer ikke danner en aritmetisk følge og at [tex]a_i[/tex] har et felles element med [tex](d_{ik})[/tex].
Vi skal nå velge [tex]a_n[/tex]. Kravet til følgen er at [tex]a_n-a_k \not = a_k-a_s[/tex] for alle k,s<n. Vi velger da bare [tex]a_n>\max\{2a_k-a_s|k,s<n\}[/tex] slik at [tex]a_n[/tex] ligger i [tex](d_{nk})[/tex]. I så fall vil følgen vår [tex](a_n)[/tex] tilfredsstille kravene gitt (siden den er stigende og per konstruksjon av [tex]a_n[/tex]).
La [tex]a_1=1[/tex] og [tex]a_2 = 2[/tex] (i hvilket tilfelle [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] ligger i de aritmetiske følgene [tex](d_{1k})[/tex] og [tex](d_{2k})[/tex] respektivt. Anta at vi har valgt elementer [tex]a_1,a_2,...,a_{n-1}[/tex] s.a. 3 elementer ikke danner en aritmetisk følge og at [tex]a_i[/tex] har et felles element med [tex](d_{ik})[/tex].
Vi skal nå velge [tex]a_n[/tex]. Kravet til følgen er at [tex]a_n-a_k \not = a_k-a_s[/tex] for alle k,s<n. Vi velger da bare [tex]a_n>\max\{2a_k-a_s|k,s<n\}[/tex] slik at [tex]a_n[/tex] ligger i [tex](d_{nk})[/tex]. I så fall vil følgen vår [tex](a_n)[/tex] tilfredsstille kravene gitt (siden den er stigende og per konstruksjon av [tex]a_n[/tex]).