Sifferfölge

[Karl_Erik]

La [tex]a_n[/tex] være det siste sifferet i tallet [tex]n^{(n^n)}[/tex] (i titallssystemet). Vis at fölgen [tex]a_n[/tex] er periodisk, og finn den minste perioden.

[Gustav]

Ser på følger [tex]b_k=n^k\,mod(10)[/tex] der k=1,2,3,4,5,6,..:

n=0 gir perioden 0
n=1 gir perioden 1
n=2 gir perioden 2,4,8,6
n=3 gir peridoen 3,9,7,1
n=4 gir perioden 4,6
n=5 gir perioden 5
n=6 gir perioden 6
n=7 gir perioden 7,9,3,1
n=8 gir perioden 8,4,2,6
n=9 gir perioden 9,1

Er n=0 mod 10 er [tex]n^{n^n}=0[/tex] mod 10.
Er n=1 mod 10 er [tex]n^{n^n}=1[/tex] mod 10.
Er n=5 mod 10 er [tex]n^{n^n}=5[/tex] mod 10.
Er n=6 mod 10 er [tex]n^{n^n}=6[/tex] mod 10.

Ser vi på tallene n=2 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 4 være 0, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil være 6.

Ser vi på tallene n=3 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 4 alternere mellom
3 og 1, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil alternere mellom 7 og 3.

Ser vi på tallene n=4 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 2 være 0, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil være 6.

Ser vi på tallene n=7 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 4 alternere mellom
3 og 1, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil alternere mellom 3 og 7.

Ser vi på tallene n=8 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 4 være 0, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil være 6.

Ser vi på tallene n=9 mod 10 vil [tex]n^n[/tex] mod 2 være 1, så [tex]n^n^n[/tex] mod 10 vil være 9.

Lengden på perioden vil derfor være 20 og perioden blir

{0,1,6,7,6,5,6,3,6,9,0,1,6,3,6,5,6,7,6,9}

Med forbehold om regnefeil...

Edit: rettet opp noen feil

[Karl_Erik]

Dette virker riktig - svaret er hvertfall riktig.