Inhomogen andre ordens differensligning

[vno]

Trenger hjelp til en oppgave:

Vi ser på en inhomogen andre ordens differensligning

xn+2 + xn+1 − 2xn = 6n + 11


a) Finn den generelle løsningen xnh til den tilsvarende homogene ligningen.

b) Finn en spesiell løsning xns av den inhomogene ligningen og skriv opp den generelle løsningen av den inhomogene ligningen.

c) Bestem den løsningen som oppfyller x0 = x1 = 2.

På oppgave a) har jeg kommet frem til at løsningene av den homogene ligningen er på formen

Xnh = C(1)n + D(-2)n. Men sliter med å finne den spesielle løsningen (oppg.b).

Setter pris på all hjelp.

[Lord X]

Hint:

Prøv med en partikulærløsning:

[tex]x_{n}=Cn^2+Dn[/tex]

for konstanter C og D.

[vno]

Så jeg må gå opp 1 grad i gjettingen? Da kommer jeg frem til

2An^2 - 2An + 5A.

Hvordan finner jeg A deretter? Ved å løse den som en andregradslikning? Men da vil jeg vel få to spesielle løsninger?

Takk for svar

[Lord X]

Så jeg må gå opp 1 grad i gjettingen?

Ja, i dette tilfellet i allefall; er en stund siden jeg holdt på med slike ting, men jeg tror det har noe å gjøre med løsningene til den homogene likningen..

Dersom [tex]x_{n}=Cn^2+Dn[/tex] får vi:

[tex]x_{n+2}+x_{n+1}-2x_{n}=C(n+2)^2+D(n+2)+C(n+1)^2+D(n+1)-2(Cn^2+Dn)=C(n^2+4n+4)+D(n+2)+C(n^2+2n+1)+D(n+1)-2Cn^2-2Dn[/tex]

Trekker vi dette sammen, får vi:

[tex]6Cn+(5C+3D)=6n+11[/tex]

dvs. [tex]6C=6 \Rightarrow C=1[/tex] slik at [tex]5C+3D=5+3D=11[/tex] dvd. [tex]D=\frac{6}{3}=2[/tex].

Konklusjon: [tex]x_{n}=n^2+2n[/tex] er en partikulærløsning.

[vno]

Takk, da skjønte jeg det!:)