a) Finn alle odde funksjoner [tex]f[/tex] fra Z til R slik at [tex]f(x^2+x+1)=f(x)[/tex] for alle x i Z.
b) Finn alle like funksjoner [tex]f[/tex] fra Z til R slik at [tex]f(x^2+x+1)=f(x)[/tex] for alle x i Z.
Dobbel funksjonallikning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
a)
[tex]f(-(k+1))=f((k+1)^2-(k+1)+1)=f(k^2+2k+1-k-1+1)=f(k^2+k+1)=f(k)=-f(-k)[/tex].
[tex]f(-1)=-f(1)=f(1)[/tex] så [tex]f(1)=f(-1)=f(0)=0[/tex]
Eneste løsning er derfor [tex]f(x)=0[/tex] for alle [tex]x[/tex] i [tex]Z[/tex]. Ligningen over gir f.eks.
[tex]f(3)=-f(-3)=-f(2)=f(-2)=f(1)=-f(-1)=-f(0)=0[/tex] etc.
b)
Vi har at
[tex]f(-(k+1))=f(k)=f(-k)[/tex]. og [tex]f(k^2+k+1)=f(k)[/tex]
De like løsningene er altså på formen [tex]f(x)=f(0)[/tex] for alle x i Z for f(0) i R.
[tex]f(-(k+1))=f((k+1)^2-(k+1)+1)=f(k^2+2k+1-k-1+1)=f(k^2+k+1)=f(k)=-f(-k)[/tex].
[tex]f(-1)=-f(1)=f(1)[/tex] så [tex]f(1)=f(-1)=f(0)=0[/tex]
Eneste løsning er derfor [tex]f(x)=0[/tex] for alle [tex]x[/tex] i [tex]Z[/tex]. Ligningen over gir f.eks.
[tex]f(3)=-f(-3)=-f(2)=f(-2)=f(1)=-f(-1)=-f(0)=0[/tex] etc.
b)
Vi har at
[tex]f(-(k+1))=f(k)=f(-k)[/tex]. og [tex]f(k^2+k+1)=f(k)[/tex]
De like løsningene er altså på formen [tex]f(x)=f(0)[/tex] for alle x i Z for f(0) i R.