Som nyansatt sjef for det norske mynverket går du i gang med ditt første prosjekt. Du synes lite om at alle priser man per i dag kan betale med norske mynter er rasjonelle, og vil derfor produsere en serie mynter med verdien [tex]\pi[/tex] kroner.
Du har med disse myntene planlagt å høste annerkjennelse som en dyktig myntverksjef, og har derfor bestemt deg for å legge til en liten vri i produksjonen. Pi-myntene skal ikke være rettferdige - når en mynt produseres skal det med uniform sannsynlighet velges et tall p i intervallet [tex](0,1)[/tex]. Den mynten skal da konstrueres slik at sannsynligheten for at den blir kron er lik p. p kan som sagt variere fra mynt til mynt, men for en bestemt mynt er p selvfølgelig konstant.
Når myntene er ferdige, bestemmer du deg for å teste dem. Du tar en av de rykende ferske myntene, og isolerer deg på kontoret ditt. Du slår så mynten ti ganger, og den blir krone hver gang. Gitt at en mynts 'rettferdighet' er uniformt fordelt og at de første ti kastene ble kron, hva er sannsynligheten for at den blir krone på det ellevte kastet også?
Urettferdige myntkast
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Dette ble ikke fullstendig rigorøst men forhåpentligvis et tilstrekkelig godt argument.
Anta at p er en diskret stokastisk variabel uniformt fordelt på mengden av tall [tex]\frac{k}{n}[/tex] for [tex]0 \leq k \leq n[/tex], og la S være hendelsen at vi slår kron 10 ganger. Da er [tex]P(S) = \sum^{n}_{k=0}\frac{1}{n} \cdot (\frac{k}{n})^{10}[/tex]. Av Bayes' teorem har vi at
[tex]P(p=\frac{k}{n}|S)=\frac{P(S|p=\frac{k}{n})P(p=\frac{k}{n})}{P(S)}=\frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} \cdot \frac{1}{n}}{\sum^{n}_{k=0}\frac{1}{n} \cdot \frac{k^{10}}{n^{10}}} = \frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}}[/tex]
Dermed er
[tex]E(p |S) = \sum^{n}_{k=0} \frac{k}{n} \cdot \frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}}= \frac{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{11}}{n^{11}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}} \to \frac{\int^{1}_0x^{11} dx}{\int^{1}_0x^{10} dx}=\frac{11}{12}[/tex]
når [tex]n \to \infty[/tex] som riemann summer.
Da blir vel dette forventningsverdien til p som uniformt fordelt på [0,1], og dermed sannsynligheten for at neste kast blir kron. Dette generaliseres enkelt til n kast som blir kron; forventningsverdien blir [tex]\frac{n+1}{n+2}[/tex].
Anta at p er en diskret stokastisk variabel uniformt fordelt på mengden av tall [tex]\frac{k}{n}[/tex] for [tex]0 \leq k \leq n[/tex], og la S være hendelsen at vi slår kron 10 ganger. Da er [tex]P(S) = \sum^{n}_{k=0}\frac{1}{n} \cdot (\frac{k}{n})^{10}[/tex]. Av Bayes' teorem har vi at
[tex]P(p=\frac{k}{n}|S)=\frac{P(S|p=\frac{k}{n})P(p=\frac{k}{n})}{P(S)}=\frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} \cdot \frac{1}{n}}{\sum^{n}_{k=0}\frac{1}{n} \cdot \frac{k^{10}}{n^{10}}} = \frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}}[/tex]
Dermed er
[tex]E(p |S) = \sum^{n}_{k=0} \frac{k}{n} \cdot \frac{\frac{k^{10}}{n^{10}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}}= \frac{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{11}}{n^{11}} }{\sum^{n}_{k=0}\frac{k^{10}}{n^{10}}} \to \frac{\int^{1}_0x^{11} dx}{\int^{1}_0x^{10} dx}=\frac{11}{12}[/tex]
når [tex]n \to \infty[/tex] som riemann summer.
Da blir vel dette forventningsverdien til p som uniformt fordelt på [0,1], og dermed sannsynligheten for at neste kast blir kron. Dette generaliseres enkelt til n kast som blir kron; forventningsverdien blir [tex]\frac{n+1}{n+2}[/tex].