Primtallssummer og kvadrattall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]K_n^2[/tex] være det minste kvadrattallet mindre enn [tex]s_n[/tex]. Vi trenger [tex](K_n+1)^2 < s_{n+1}=s_n+p_{n+1}[/tex], dvs [tex](K_n+1)^2-s_n < p_{n+1}[/tex].
[tex](K_n+1)^2-s_n = K_n^2-s_n+2K_n+1 < 2\sqrt{s_n} \leq 2\sqrt{2+4+...+(p_n+1)}=2\sqrt{\frac{(p_n+1)}{2}\frac{(p_n+3)}{2}}=\sqrt{(p_n+1)(p_n+3)}[/tex].
Vi trenger altså å vise at [tex]\sqrt{(p_n+1)(p_n+3)} \leq p_{n+1}[/tex]. Dette er ekvivalent med [tex]4p_n+3 \leq (p_{n+1}-p_n)(p_{n+1}+p_n)[/tex].
Vi ser at det er et kvadrattall mellom [tex]s_1[/tex] og [tex]s_2[/tex], så vi kan bruke ulikheten [tex]p_{n+1} \geq p_n +2[/tex]. Det betyr at [tex](p_{n+1}-p_n)(p_{n+1}+p_n) \geq 2(2p_n+2)=4p_n+4 >4p_n+3[/tex] så det finnes et kvadrattall mellom [tex]s_n[/tex] og [tex]s_{n+1}[/tex].
[tex](K_n+1)^2-s_n = K_n^2-s_n+2K_n+1 < 2\sqrt{s_n} \leq 2\sqrt{2+4+...+(p_n+1)}=2\sqrt{\frac{(p_n+1)}{2}\frac{(p_n+3)}{2}}=\sqrt{(p_n+1)(p_n+3)}[/tex].
Vi trenger altså å vise at [tex]\sqrt{(p_n+1)(p_n+3)} \leq p_{n+1}[/tex]. Dette er ekvivalent med [tex]4p_n+3 \leq (p_{n+1}-p_n)(p_{n+1}+p_n)[/tex].
Vi ser at det er et kvadrattall mellom [tex]s_1[/tex] og [tex]s_2[/tex], så vi kan bruke ulikheten [tex]p_{n+1} \geq p_n +2[/tex]. Det betyr at [tex](p_{n+1}-p_n)(p_{n+1}+p_n) \geq 2(2p_n+2)=4p_n+4 >4p_n+3[/tex] så det finnes et kvadrattall mellom [tex]s_n[/tex] og [tex]s_{n+1}[/tex].