Fargelegging av planet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Fargelegg planet rødt og blått slik at ethvert punkt enten er rødt eller blått. Vis at vi for en av fargene har at at for enhver reell [tex]d[/tex] kan vi finne to punkter i denne fargen avstand [tex]d[/tex] til hverandre. (Altså kan ikke fargen avhenge av [tex]d[/tex].)
Tror dette skal stemme?
Anta at det finnes en d>0 slik at ethvert par av punkter med avstand d fra hverandre har forskjellig farge. Anta uten tap av generalitet at 0 er farget rødt. På sirkelen om origo med radius d er alle punkter blå. Velg et punkt på x sirkelen. Tegn en sirkel om x av radius d. Velg et skjæringspunkt y mellom de to sirklene. Avstanden mellom x og y er d, men begge punktene er blå. En motsigelse; ingen slik d eksisterer.
Anta at det finnes en d>0 slik at ethvert par av punkter med avstand d fra hverandre har forskjellig farge. Anta uten tap av generalitet at 0 er farget rødt. På sirkelen om origo med radius d er alle punkter blå. Velg et punkt på x sirkelen. Tegn en sirkel om x av radius d. Velg et skjæringspunkt y mellom de to sirklene. Avstanden mellom x og y er d, men begge punktene er blå. En motsigelse; ingen slik d eksisterer.
Dette er nesten riktig - nå har du vist at for enhver d finnes to punkter i avstand d fra hverandre med samme farge, men det følger ikke fra dette at det enten finnes to røde punkter i avstand d fra hverandre for alle d, eller at det finnes to blå punkter i avstand d fra hverandre for alle d. Du må altså vise at du kan velge fargen på de to punktene du er ute etter 'uavhengig av' d.