integrerering

[elli]

Hei!
Skal finne integralet av følgende:

[symbol:integral] sinxcosx dx
[symbol:integral] cos^2 x dx

På den første har jeg fått til at uttrykket omskrives til 1/2sin(2x)dx. Men ble plutselig usikker på hvordan uttrykket skal integreres?
På det andre uttrykket har jeg fått til at uttrykket omskrives til (1 + cos(2x))/(2). Det blir jo 1/2 + (cos(2x))/2. 1/2 er jo greit nok å integrere, men (cos2x)/2 derimot. Det er sikkert håpløst enkelt.

På forhånd takk for svar.

[drgz]

Vil det være enklere for deg å integrere uttrykket hvis du sier at [tex]2x = u \rightarrow \mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}u[/tex]?

[Gommle]

For å integrere [tex]cos^2x[/tex] må du bruke at [tex]sin^2x + cos^2x = 1[/tex]

[FredrikM]

Mye enklere metode:

Bruk at [tex]e^{ix}=\cos x +i\sin x[/tex]. Dette gir
[tex]\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex].

Opphøyer du dette i 2, får du
[tex]\frac{1}{4}(e^{i2x}+2+e^{-i2x})[/tex]
som er veldig lett å integrere.

[drgz]

For å integrere [tex]cos^2x[/tex] må du bruke at [tex]sin^2x + cos^2x = 1[/tex]

Det hjelper ikke så mye hvis vedkommende har problemer å integrere en kvadrert trigonometrisk funksjon

[drgz]

Mye enklere metode:

Bruk at [tex]e^{ix}=\cos x +i\sin x[/tex]. Dette gir
[tex]\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex].

Opphøyer du dette i 2, får du
[tex]\frac{1}{4}(e^{i2x}+2+e^{-i2x})[/tex]
som er veldig lett å integrere.

Det er lett å integrere, men igjen litt verre å se hvordan en skal få det over på trig. form for en som ikke er kjent med Eulers identitet og/eller komplekse tall.

[Gommle]

Med metoden "min" ender man opp med [tex]\int cos^2 x[/tex] på venstre side og [tex]-\int cos^2 x +blabla[/tex] på høyre siden.