To oppgaver om potenser og primtall

[Karl_Erik]

1) Finn alle positive heltall [tex]n[/tex] slik at [tex]2^{n+1}-n^2[/tex] er et primtall.

2) Finn alle positive heltall [tex]n[/tex] slik at [tex]2^n+n^{2004}[/tex] er et primtall.

EDIT: Postet tidligere den første oppgaven med et pluss istedetfor et minus. Dette er feil i den forstand at det ikke var den oppgaven jeg mente å poste, og i motsetning til oppgaven med minus har jeg ikke sett noen løsning på den. Forhåpentligvis har ingen mistet søvn over dette.

[Vektormannen]

Da ble 1) med ett litt enklere ja :p

n må være oddetallig, og da blir [tex]2^{(2k+1)+1} = (2^{k+1})^2[/tex] kvadratisk slik at [tex](2^{k+1})^2 - (2k+1)^2 = (2^{k+1} - 2k - 1)(2^{k+1} + 2k + 1)[/tex]. Dersom dette tallet skal være et primtall må [tex]2^{k+1} - 2k-1 = 1[/tex] som gir at [tex]k = 2^k - 1[/tex]. Da må k være 0 eller 1 som gir at n er 1 eller 3 (som gir primtallene 3 og 7.)