Regler for løsning av likninger (HJELP!)

[Matte-er-gøy]

Hei!

Spørsmål ang. matte på Vg2:

I matteboka mi står det følgende om løsning av likninger:
"Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sider av likhetstegnet dersom tallet ikke er null".

På et sted på nettet (om likningsløsning) så jeg også at det stod "Multiplikasjon med noe som inneholder variabelen - bør aldri gjøres, er aldri nødvendig!"

Likevel, i matteboka har de i et eksempel ganget hver side av likhetstegnet med x!! Likningen er (5/x) + 3 = (1/x) + 1

Er det OK å gange eller dele med x, så lenge man sjekker at svaret man får ikke medfører at man deler med 0???

[Nebuchadnezzar]

jupp

[Vektormannen]

Det er helt ok det. Men pass på i ulikheter. Der kan du ikke på forhånd vite om x er negativ (med mindre det er gitt et område x skal holde seg innafor), og da vet du heller ikke om du må snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med x på begge sider.

[Matte-er-gøy]

Takk for svar

2 spørsmål:

1. Hva mener du med "pass på" i ulikheter? Hva skal man da gjøre? Snu tegnet eller ikke?

2. Hvorfor står det slik i boka da? Som om det ikke går an å dele eller gange med noe som inneholder x....? Burde ikke skrevet det slik, vel...?

[Vektormannen]

1. Hvis du har en ulikhet med x kan du ikke gange eller dele med x uten videre. I en ulikhet må du jo snu ulikhetstegnet når du ganger med et negativt tall. Men når du ganger x ganger du med noe som kan være negativt og positivt. Da vet du ikke om du skal snu ulikhetstegnet eller ikke. Eksempel:

3 > 2/x

Ganger du med x får du

3x > 2

x > 2/3

Dette stemmer forsåvidt, men nå har vi mistet informasjon, for hva om x er negativ. Da vil jo også den opprinnelige ulikheten bli oppfylt, så alle x < 0 må jo være løsninger, men dette passer ikke inn i ulikheten x > 2/3 fordi et negativt tall ikke kan være større enn et positivt tall.

For å løse dette kan man enten dele opp i to ulikheter, en hvor man antar at x > 0 og en hvor man antar at x < 0 og så trekker man en konklusjon fra de to ulikhetene man får for x, eller så kan man flytte alle ledd over på en side, trekke sammen og eventuelt faktorisere. Da vil man stå igjen med en ulikhet som sier at produktet av én eller flere faktorer skal være større eller mindre enn 0. For å finne ut dette, ser man når hver faktor endrer fortegn, og så ser man på hva som skjer med hele produktet i dette tilfellet. Da kan man finne ut for hvilke x uttrykket er større eller mindre enn 0. Disse x-verdiene vil da også være den opprinnelige ulikhetens løsninger.

2. Sa du ikke nettopp at det var et eksempel på at de gjorde det i boka?

[Matte-er-gøy]

Jo, de gjør det i eksempelet, men i "regelboksen" stod det jo det jeg siterte... Står at man ikke kan gange eller dele med 0. Selvsagt kan man ikke det. Da blir jo bare alt 0. Ha ha - likningen er løst... Ser den. Men hva om x viser seg å være 0? Da må man sjekke, ikke sant? Falsk løsning. Høres OK ut nå?

[Matte-er-gøy]

Unnskyld - det er her: http://www.ulven.biz/3mx/kap3/ligninger.pdf det står at man ikke kan gange med x, heller! I boka står det 0.

[Vektormannen]

Du kan gange og dele med x i en ligning, så lenge du forutsetter at x ikke er 0. Når du deler må du også huske å sjekke om x = 0 faktisk er en løsning på den opprinnelige ligningen. Generelt er det en god idé å unngå å gjøre dette, og det er som regel mulig å løse ligningen ved å faktorisere i stedet. Eksempel:

[tex]2x = 4x^2[/tex]

Deler på x, antar nå at x ikke er 0.

[tex]2 = 4x[/tex]

[tex]x = \frac{1}{2}[/tex]

Men -- sjekker vi nå for x = 0 så får vi at også det er en løsning, siden

[tex]2 \cdot 0 = 4 \cdot 0^2 = 0[/tex]

Så vi "mistet" en løsning ved å dele på x. Denne ligningen kunne vi ha løst slik ved faktorisering:

[tex]2x = 4x^2[/tex]

Flytt over:

[tex]2x-4x^2 = 0[/tex]

[tex]2x(1 - 2x) = 0[/tex]

Nå står det at produktet av to faktorer med x skal være 0. Da må enten x være 0, eller så må (1-2x) være 0. Det gir de samme løsningene som ovenfor.