Epsilondelta

[AndreasSol]

Hei! Sitter helt fast på en innlevering i matte her. Oppgaven er som følger:


Oppgave 4. Gitt f : [− sqrt π, sqrt π] → [−1, 1] definert ved
f (x) = sin (x^2) .


(b) Finn en δ slik at |x − y| ≤ δ impliserer at |f (x) − f (y)| ≤ 0.1 for alle x og y i
[- [symbol:rot] [symbol:pi] , [symbol:rot] [symbol:pi] ]


Kommer ingen vei, noen som kan gi litt tips på hvordan man bør gå frem?

[Markonan]

Du skal bruke definisjonen av kontinuitet for funksjoner.
Du har fått oppgitt en konkret epsilon: 0.1.

Slå det opp i læreboken og se om du kommer noen vei.

[AndreasSol]

Joda, jeg vet hva jeg kan sette opp

| sin (x²) - sin (y²)| <= 0.1

og | x - y | < [symbol:diff]

Kan jo eventuelt sette inn x = y + [symbol:diff] , men uttrykket blir jo uansett ikke noe penere. Har også forsøkt å bruke trekantulikhet, men sitter virkelig helt fast.

[FredrikM]

Hint:

[tex]|\sin x -\sin y| \leq |x-y|[/tex]
for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex]

[Ostbågar]

Hvordan tenker du for å få:
[tex]|sinx - siny| \leq |x-y|[/tex]

[FredrikM]

Mener den kan vises ved vanlige analyseteknikker (middelverdiulikheten, f.eks), men her er ihvertfall et "trigonometrisk" bevis:

Vi legger merke til at [tex]\sin(x-y)=2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})[/tex]. Dette er lett, men veldig kronglete å vise. Det er bare gjentatt bruk av formlene for [tex]\sin(x+y)[/tex] og [tex]\cos(x+y)[/tex].

Legg også merke til at [tex]|\sin x| \leq |x|[/tex] for alle x. (vises lett ved å betrakte de deriverte)

Fra dette følger at
[tex]|\sin(x-y)|=2|\sin(\frac{x-y}{2})\cos (\frac{x+y}{2})| \leq 2|\sin(\frac{x-y}{2})| \leq 2\frac{|x-y|}{2} =|x-y|[/tex]

[Ostbågar]

Men |sin(x[sup]2[/sup]) -sin(y[sup]2[/sup])| er da ikke det samme som |sin(x-y)| ?

[FredrikM]

Nei, men ulikheten gjelder for alle x, og da selvfølgelig også for [tex]x^2[/tex].

[AndreasSol]

Takk!

Den kan vises ved middelverdisetningen, men man ser det også om man bare tegner opp enhetssirkelen. Nå har jeg fått den til! Lettende!:)

[hanso]

Takk!

Den kan vises ved middelverdisetningen, men man ser det også om man bare tegner opp enhetssirkelen. Nå har jeg fått den til! Lettende!:)

Hei! Hvilket svar endte du med? Jeg sliter med samme oppgave, og fikk delta = 0.1/(2*sqrt(pi)) ved bruk av middelverdisetningen. Jeg er imidlertid svært usikker på om framgangsmåten min var riktig, og det hadde vært greit med en pekepinn nå som innleveringsfristen nærmer seg.

[Ostbågar]

Det er riktig at maksimumsverdien av den deriverte er 2 [symbol:rot] [tex]\pi[/tex]. Men for å få et finere svar er det like bra å velge [tex]\delta = 0.1/4[/tex].

Altså sette "max" av den deriverte til å være 4. Da får du at [tex]|f(x)-f(y)| \leq 4|x-y|[/tex]

[Gustav]

Mener den kan vises ved vanlige analyseteknikker (middelverdiulikheten, f.eks), men her er ihvertfall et "trigonometrisk" bevis:

Vi legger merke til at [tex]\sin(x-y)=2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})[/tex]. Dette er lett, men veldig kronglete å vise. Det er bare gjentatt bruk av formlene for [tex]\sin(x+y)[/tex] og [tex]\cos(x+y)[/tex].

Legg også merke til at [tex]|\sin x| \leq |x|[/tex] for alle x. (vises lett ved å betrakte de deriverte)

Fra dette følger at
[tex]|\sin(x-y)|=2|\sin(\frac{x-y}{2})\cos (\frac{x+y}{2})| \leq 2|\sin(\frac{x-y}{2})| \leq 2\frac{|x-y|}{2} =|x-y|[/tex]

Her er det sneket seg inn en stygg feil. Det skal vel konsekvent stå [tex]\sin(x)-\sin(y)[/tex] der det står [tex]\sin(x-y)[/tex]

[FredrikM]

Riktig det. (men det ser ut som om jeg regnet som om det stod det det skulle være)