Ulikhet og tallfolge

[FredrikM]

La [tex]a_1,...,a_n[/tex] vaere positive tall. La [tex]a_{n(j)}[/tex] vaere en permutasjon av sistnevnte folge.

Vis at
[tex]\frac{a_1}{a_{n(1)}}+...+\frac{a_n}{a_{n(n)}} \geq n[/tex].


(regner med denne er rimelig lett for mange av de mer erfarne problemloserne her, men sikkert en god utfordring for de hakket litt mindr eerfarne)

[Gustav]

Uten tap av generalitet, anta at [tex]a_1\leq a_2,...,\leq a_n[/tex].

Rearrangementulikheten gir at

[tex]\sum_i \frac{a_i}{a_n(i)}\geq \sum_i \frac{a_i}{a_i}=n[/tex]

[Charlatan]

En alternativ måte er å bruke AM-GM. Litt opprydding gir svaret direkte.