Heltallsløsninger

[FredrikM]

Vis at [tex]x^2-3y^2=17[/tex] ikke har noen heltallsløsninger.

Etter at jeg så et løsningsforslag på denne, fant jeg ut at min metode var usedvanlig tungvint.

[Nebuchadnezzar]

Blarge... sikkert feil igjen, disse problemene virker så enkle. sikkert bare meg som overser noe fundamentalt.

[tex]x^2 \, - \, 3y^2 \, = \, 17 [/tex]

[tex]x^2 \, - \, \left(sqrt{3}y\right)^2 \, = \, 17 [/tex]

[tex]\left( \, x \, - \, sqrt{3}y\,\right) \,\left( \, x \, + \, \sqrt{3} y \, \right) \, = \, 17 [/tex]

Siden både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] skal være heltall, har vi ikke noe måte og bli kvitt [tex]sqrt{3}[/tex] på, dermed har ikke denne likningen noen heltalløsninger...

EDIT:

Alt dette er selvfølgelig feil

[FredrikM]

Argumentet ditt med å "kvitte oss med [tex]\sqrt{3}[/tex]" er ikke gyldig. Se f.eks på denne:

[tex]x^2-3x^2=6[/tex]

Denne har løsningen x=3, y=1, men du kunne brukt samme argument her.

[Gommle]

<hvor gikk delete knappen?>

[Karl_Erik]

Anta at en løsning finnes. Først legger vi merke til at om x og y begge er delelige med 17 er venstresiden delelig med [tex]17^2[/tex], mens høyresiden ikke er det. Tilsvarende ser vi at om en av x og y er delelig med 17 mens den andre ikke er det er venstresiden ikke delelig med 17, mens høyresiden er det. Altså kan ingen av x og y være delelige med 17.

Siden 17 er et primtall er [tex]\mathbb{Z}_{17}[/tex] en kropp, og siden [tex]y[/tex] ikke er null finnes da et heltall [tex]y^{-1}[/tex]. Vi har da at [tex]x^2 \equiv 3y^2 \pmod {17}[/tex], så [tex](xy^{-1})^2 \equiv 3 \pmod {17}[/tex]. Men [tex]3[/tex] er ikke en kvadratisk rest modulo 17 (noe man kan sjekke ved å regne ut alle kvadrater mod 17), så dette er en umulighet. Altså var antagelsen vår feil, og det finnes ingen løsninger.

[espen180]

slettet

[Fibonacci92]

x^2 - 3y^2 = 17

x^2 - 3y^2 + 3 = 17 +3

x^2 - 3(y+1(y-1) = 20

X må være på formen 3t, 3t + 1 eller 3t + 2

X er opplagt ikke på formen 3t, fordi 20 ikke er delelig med 3.

Antar X=3t +1

(3t+1)^2 - 3(y-1)(y+1) = 20

9t^2 + 6t -(3y-1(y+1) = 19

19 er heller ikke delelig med 3, x=3t +1 går dermed ikke.

Antar x=3t +2

(3t+2)^2 - 3(y-1)(y+1) = 20

9t^2 + 12t - 3(y-1)(y+1) = 16

16 er heller ikke delelig med 3.

Det finnes dermed ingen passende verdier for t, og dermed ingen passende verdier for X.

Ser nå at omformingen min av likningen var totalt unødvendig.

[Charlatan]

Alternativt:

Vi har øyeblikkelig at [tex]x^2 \equiv 2 \pmod{3}[/tex] som er umulig.

[Charlatan]

Finn alle heltallige positive løsninger på likningen:

x^2-3y^2=1.

Hint: Her kan det være lurt å omforme likningen på måten Nebuchadnezzar gjorde, og tenk på hva som skjer når du opphøyer hver side i forskjellige potenser.

[FredrikM]

Morsomt å se så mange forskjellige løsninger

Flaut nok viste det seg at jeg hadde glemt noen viktige tilfeller i min løsning, så den er ikke spesielt gyldig. (ideen min gikk ut på å redusere modulo 4 og sette nye krav på variablene. Jeg fikk utelukket en del muligheter, men plutselig sa det stopp)

[Karl_Erik]

Dette er en Pellsk likning. Den fundamentale løsningen ser vi er [tex]x_1=2, y_1=1[/tex], så alle løsninger [tex]x_i, y_i[/tex] er slik at [tex]x_i+y_y \sqrt 3 = (x_1+y_1 \sqrt 3)^i=(2+\sqrt 3)^i[/tex], og dette er en løsning for alle [tex]i[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Charlatan sin. Her kan i det minste jeg se raskt at løsningene en av løsningene er [tex]x=2[/tex] og [tex]y=1[/tex].

x^2-3y^2=1 skriver om funksjonen litt

[tex]f(a)=\left((x-sqrt(3)y)(x+sqrt(3)y)\right)^a=1^a[/tex]

Dette kan vi skrive om til

[tex]f(a)=(x^2-sqrt{3}y^2)^a = 1[/tex]

Vi vet at en av løsningene er 2 og 1, dermed vil resten av løsningene være gitt ved

[tex]f(a)=(2-sqrt{3})^a[/tex]

Håper dette ble riktig...

EDIT

Litt sent ute.

[Charlatan]

Dette vil i det minste produsere et uendelig antall løsninger, men kan du bevise at det faktisk er alle?