Mengde, ekvivalensrelasjon og ekvivalensklasser

[Zhai]

Her er en oppgave som jeg ikke er helt sikker på har kommet frem til riktig svar. Så håper noen kan ta en titt og bekrefte om jeg har skjønt dette her.

Oppgaven:
La X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} og definer relasjonen R på X ved xRy om x + y = 13

a) Bestem om R er symmetrisk, refleksiv og transitiv

Her fant jeg ut at R er symmetrisk, men ikke refleksiv og ikke transitv. Dette skal vel stemme?

b) Definer S ved xSy <=> x = y eller xRy
Vis at S er en ekvivalensrelasjon og bestem ekvivalensklassene til S.

Her tror jeg at jeg vet hva ekvivalensklassene er, men jeg skjønner ikke hva som menes med at man skal vise at S er en ekvivalensrelasjon?

Ok, her har jeg funnet følgende ekvivalensklasser til S:
{1,12}, {2,11}, {3,10}, {4,9}, {5,8}, {6,7}
Håper folk skjønner hvordan jeg har fått disse ekvivalensklassene og kan bekrefte at disse er riktige

[Karl_Erik]

At R er refleksiv vil si at xRx for alle x. Dette tilsvarer at x+x=13 for alle x, som åpenbart ikke er sant. At R er transitiv vil si at om xRy og yRz har vi også at xRz, med andre ord at om x+y=13 og y+z=13 må x+z=13. Dette stemmer heller ikke nødvendigvis, noe man kan sjekke ved å sette inn x=z=1 og y=12, så du har rett i at R ikke er refleksiv eller transitiv.

På b) må du sjekke at S er en ekvivalensrelasjon. Dette kan du gjøre ved å sjekke at S er symmetrisk, refleksiv og transitiv, og er ikke verre enn å kunne definisjonene. Ekvivalensklassene dine ser forøvrig riktige ut.

[Zhai]

Et lite spørsmål angående det med å vise at S er en ekvivalensrelasjon. Disse oppgavene er forresten hentet fra prøveeksamen i diskret matematikk.

Hvis jeg skulle ha vist at S er en ekvivalensrelasjon på en eksamen, ville det være nok å si at S er en ekvivalensrelasjon fordi den er refleksiv, symmestrisk og transitiv? Eller tror du kanskje at man må beskrive i detalje hvorfor den er refleksiv, symmetrisk og transitiv også?

Jeg synes det er litt voldsomt mye å drive å beskrive absolutt alle egenskaper til en relasjon, men jeg vet ikke, hva synes du?

[Karl_Erik]

Du burde nok vise at S er refleksiv, symmetrisk og transitiv, ja, om dette ikke er åpenbart. (I og med at det er en eksamen er det kanskje lurt å gjøre det uansett.) Refleksivitet og symmetrisitet burde gå rimelig fort, og transitivitet trenger du neppe mer enn et par linjer på, så så voldsomt mye blir det sikkert ikke.