derivasjon, kjerneregel.

[fjongfasong]

Hei, jeg lurte på om dere kan hjelpe meg å forklare noe jeg lurer litt på.
Jeg har en oppgave som sier om x år er utslipp av miljøgift i tonn gitt ved funksjonen [tex]f(x) = 10\ln (3x + 4) + 5[/tex]. Hvor raskt øker utslippet om fire år?

[tex]3x + 4 = u[/tex]
[tex]\frac{{df}}{{du}} = 3[/tex](skal være u', vet ikke om jeg skrev det riktig.)

[tex]\frac{{df}}{{dx}} = 10 \cdot \frac{1}{u} + 5 \cdot \frac{{df}}{{du}} = 10 \cdot \frac{1}{{3x + 4}} + 0 \cdot 3 = \frac{{10}}{{3x + 4}}[/tex] Dette blir litt feil, og jeg anser at svaret skal bli [tex]\frac{{10}}{{3x + 3}} \cdot 3[/tex] Men skal jeg gange den deriverte av u før +5? Vil bare være helt sikker på at jeg har forstått det

[Nebuchadnezzar]

[tex]f(x)=10 \, \ln\left( 3x + 4 \right) + 5 [/tex]

Slik jeg tenker. Det første vi ser er at 5 forsvinner, siden det er en konstant.
Da står vi igjen med

[tex]f(x)=10 \, \ln\left( 3x + 4 \right)[/tex]

Her kan vi bruke produktregelen som sier.

[tex]\frac{d}{dx}uv=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}[/tex]

[tex]10^{\tiny\prime} \, \cdot \, \ln\left( 3x + 4 \right) + 10 \, \cdot \, \ln\left( 3x + 4 \right)^{\tiny\prime} [/tex]

Den deriverte av 10 er 0 og dermed forsvinner dette leddet, da trenger vi kun og konsentrere oss om derivasjonen av [tex]\ln\left( 3x + 4 \right)[/tex]

Her bruker vi kjerneregelen som sier at

[tex]\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\tiny\prime}(x)g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

der [tex]f(x)=ln(g(x))[/tex] og [tex]g(x)=3x+4[/tex]
og [tex]f^{\tiny\prime}(x)=\frac{1}{g(x)}[/tex] og [tex]g^{\tiny\prime}(x)=3[/tex]

Da får vi at [tex]\frac{d}{dx}\ln\left( 3x + 4 \right)=\frac{1}{g(x)}\, \cdot \, 3 = \frac{3}{3x+4}[/tex]

Altså er

[tex]f(x)=10 \, \ln\left( 3x + 4 \right) + 5 [/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x) \, = \, 10 \, \frac{3}{3x+4} \, = \, \frac{30}{3x+4} [/tex]

Håper det oppklarte litt ^^ Selv ville jeg løst denne på 2-3 linjer.

[Realist1]

Kort fortalt:

[tex]f(x) = 10 \ln (3x+4) + 5[/tex]

Vi får da:

[tex]f^{\tiny\prime}(x) = \left( 10 \ln (3x+4) \right)^\prime[/tex]

10 kan vi sette utenfor, så det eneste problemet nå er å derivere ln(3x+4). Da setter vi som du sier en kjerne u=3x+4.

[tex]\left( \ln u \right)^\prime = \frac{1}{u} \cdot u^{\tiny\prime}[/tex]

Derfor:

[tex]f^{\tiny\prime}(x) = 10 \cdot \frac{1}{3x+4} \cdot (3x+4)^{\tiny\prime} = 10 \cdot \frac{1}{3x+4} \cdot 3 = \frac{30}{3x+4}[/tex]

Forresten må du passe på notasjonene på eksamen, Nebuchadnezzar.

[fjongfasong]

Ok, så problemet var at når den deriverte av blir 0 skal jeg ikke ta den med i neste ledd?