En vilkårlig funksjon av grad 2 kan defineres ved rekursjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
hehe2
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 17/09-2009 19:09

Forklar hvorfor en vilkårlig funksjon
[tex]g(n) = An^{2} + Bn + C[/tex]
av grad 2 alltid kan defineres ved rekursjon ved
[tex]g(1) = A + B + C[/tex]
[tex]g(n + 1) = g(n) + 2An + A + B.[/tex]

Er det noen som har et godt svar på dette ?
Sist redigert av hehe2 den 06/05-2010 14:33, redigert 1 gang totalt.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

En slik rekursjonsformel har nødvendigvis en unik løsning på g, og siden andregradsfunksjonen tilfredsstiller betingelsene må dette være funksjonen.
hehe2
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 17/09-2009 19:09

Charlatan skrev:En slik rekursjonsformel har nødvendigvis en unik løsning på g, og siden andregradsfunksjonen tilfredsstiller betingelsene må dette være funksjonen.
Kan du begrunne dette litt mer?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

La oss si du starter med rekursjonsformelen og initialbetingelsen [tex]g(1)=A+B+C[/tex]. Du har en formel for [tex]g(n+1)[/tex] gitt ved [tex]g(n)[/tex], så du kan finne [tex]g(2)[/tex] ved å bruke g(1). Altså, [tex]g(2) = g(1) +2A*2+A+B[/tex]. Videre kan du bruke formelen for å finne [tex]g(3)=g(2)+2A*3+A+B[/tex].

Poenget er at du kan finne [tex]g(n)[/tex] hvilken som helst n ved å bruke de forrige verdiene. Det vil altså være nøyaktig èn funksjon som tilfredsstiller rekursjonsformelen og initialbetingelsen. Siden du kan vise at funksjonen [tex]g(n) = An^2+Bn + C[/tex] faktisk gjør det, må dette være den ene funksjonen som gjør det. Med andre ord kan [tex]g(n)[/tex] defineres med rekursjonsformelen, ettersom begge definisjonene gir nøyaktig samme funksjon.

Hvis funksjonen også er definert for negative n, kan du bruke samme rekursjonsformel ved å snu litt på den.
Svar