Primtall og fjerdepotenser

[Karl_Erik]

For hvilke primtall [tex]p[/tex] er [tex]p-4[/tex] fjerdepotensen av et heltall [tex]n[/tex]?

[Solar Plexsus]

Denne oppgaven gir oss likningen

[tex]p - 4 = m^4[/tex]

der [tex]n = m^4[/tex]. Ergo blir

[tex]p = m^4 + 4 = (m^2 + 2)^2 - 4m^2 = (m^2 + 2)^2 - (2m)^2 = [(m^2 + 2) - 2m][(m^2 + 2) + 2m].[/tex]

Altså kan [tex]p[/tex] uttrykkes som et produkt av naturlige tall:

[tex]p =[(m-1)^2+1][(m + 1)^2 + 1][/tex].

Siden [tex]p[/tex] er et primtall, må

[tex](m \pm 1)^2 + 1 = 1.[/tex]

Herav følger at [tex]m = \pm 1[/tex], som igjen gir

[tex]p = m^4 + 4 = (\pm 1)^4 + 4 = 1 + 4 = 5[/tex].