Riemann-integral og skjæringssetningen

[marthho]

Oppgaveformulering
La f og g være funksjoner definert på [a,b] der f er voksende og g er kontinuerlig og g(x)≥0 for x[tex]\in[/tex][a,b]. Kan anta at (fra tidligere oppgaver) f og fg er Riemann integrerbare.

Vis at det finnes c [tex]\in[/tex][a,b] slik at

[tex] \int^b_a f(x)g(x) dx = f(a)\int^c_a g(x) dx + f(b)\int^b_c g(x)dx[/tex]

Hva jeg har prøvd
Setter
[tex]F(x) = f(a)\int^x_a g(t) dt + f(b)\int^b_x g(t) dt[/tex]
slik at
[tex]F(a) = f(a)\int^a_a g(t) dt + f(b)\int^b_a g(t) dt = f(b)\int^b_a g(t) dt [/tex]

[tex]F(b) = f(a)\int^b_a g(t) dt + f(b)\int^b_b g(t) dt = f(a)\int^b_a g(t) dt [/tex]

[tex]F(c) = f(a)\int^c_a g(t) dt + f(b)\int^b_c g(t) dt [/tex]

F(a)>F(b) siden f er voksende og g er kontinuerlig og positiv for g(x)>0, x[tex]\in[/tex] [a,b].


Er det riktig så langt?

Skjæringssteningen sier at dersom f : [a,b] [tex]\to \mathbb{R}[/tex] er kontinuerlig og f(a)≥d≥f(b), så finnes det en c [tex]\in[/tex][a,b] slik at f(c)=d.

[FredrikM]

Først må du vise at [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] ligger mellom F(a) og F(b).

Så må du vise at F er kontinuerlig (dette er enkelt).

Så kan du bruke skjæringssetningen.

[marthho]

Først må du vise at [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] ligger mellom F(a) og F(b).

Det er her problemet er.. Klarer ikke å se hvordan [tex]\int_a^b f(x)g(x) dx[/tex] oppfører seg, og hva som verdier integralet må være større eller mindre enn. Skal man bruke noen av resultatene fra oppgavene vi kunne anta? Som hva øvre og nedre sum av f på oppdelingen D er?

Huff, er så mange år siden jeg hadde slik matte sist, men trenger litt ekstra for å kunne ta ppu.. Tror nok ikke analyse1 er det beste faget å ta sånn på deltid.

[FredrikM]

Ja, Analyse 1 er ikke barnemat.

Oki.

Legg merke til at [tex]\int_a^b (f(x)-f(b))g(x) dx \leq 0[/tex] siden [tex]g(x) \geq 0[/tex] og [tex]f(b) \geq f(x)[/tex] for alle x. Ganger du ut parentesen får du at
[tex]\int_a^b f(x)g(x) dx \leq \int_a^b f(b)g(x) dx = f(b)\int_a^b g(x) dx[/tex]

Siden dette er F(a), er du godt på vei nå.

[marthho]

Takk! Litt flau over at jeg ikke så den, tenkte alt for komplisert.. Kommer nok tilbake med flere spørsmål på samme nivå.