Primtall i nærheten av primtalls primtallspotenspotenser
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
[tex]n = 1[/tex] gir [tex]n^n \:+\: 1 \:=\: 1^1 \:+\: 1 \:=\: 2[/tex] som er et primtall.
Når [tex]n \,>\, 1[/tex] er et oddetall, blir [tex]n^n + 1[/tex] et partall større enn 2 og følgelig ikke et primtall.
Anta at [tex]n[/tex] et partall som er delelig på et oddetall [tex]k\,>\,1[/tex]. Da er [tex]n = mk[/tex] for et partall [tex]m[/tex]. Dette medfører igjen at
[tex]n^n \:+\: 1 \;=\; n^{mk} \:+\: 1 \;=\; a^k \:+\: 1 \;=\; (a \:+\: 1)(a^{k-1} \:-\: a^{k-2} \:+\: ... \:-\: a \:+\: 1)[/tex]
der [tex]a = n^m \,>\, 1[/tex]. Vi observerer at begge faktorene [tex]a \:+\: 1 \:>\: 1[/tex] og [tex]\frac{a^k\:+\:1}{a\:+\:1} \:>\: 1[/tex]. Herav følger at [tex]a^k \,+\, 1 \:=\: n^n \,+\, 1[/tex] ikke er et primtall.
Konklusjon: [tex]n^n \,+\, 1[/tex]kan bare være et primtall når [tex]n \,=\, 2^c [/tex] der [tex]c[/tex] er et ikke-negativt heltall.
Når [tex]n \,>\, 1[/tex] er et oddetall, blir [tex]n^n + 1[/tex] et partall større enn 2 og følgelig ikke et primtall.
Anta at [tex]n[/tex] et partall som er delelig på et oddetall [tex]k\,>\,1[/tex]. Da er [tex]n = mk[/tex] for et partall [tex]m[/tex]. Dette medfører igjen at
[tex]n^n \:+\: 1 \;=\; n^{mk} \:+\: 1 \;=\; a^k \:+\: 1 \;=\; (a \:+\: 1)(a^{k-1} \:-\: a^{k-2} \:+\: ... \:-\: a \:+\: 1)[/tex]
der [tex]a = n^m \,>\, 1[/tex]. Vi observerer at begge faktorene [tex]a \:+\: 1 \:>\: 1[/tex] og [tex]\frac{a^k\:+\:1}{a\:+\:1} \:>\: 1[/tex]. Herav følger at [tex]a^k \,+\, 1 \:=\: n^n \,+\, 1[/tex] ikke er et primtall.
Konklusjon: [tex]n^n \,+\, 1[/tex]kan bare være et primtall når [tex]n \,=\, 2^c [/tex] der [tex]c[/tex] er et ikke-negativt heltall.