Primtall blant påfølgende heltall

[Karl_Erik]

Vis at det finnes en mengde av 2011 påfølgende heltall slik at nøyaktig 17 av dem er primtall.

[Charlatan]

La [tex]A_n = \{n,n+1,...,n+2010 \}[/tex], og [tex]P(A_n)[/tex] være antall primtall i [tex]A_n[/tex]. Åpenbart må [tex]P(A_n)-P(A_{n+1}) =-1,0[/tex] eller [tex]1[/tex], siden [tex]A_{n+1}[/tex] kan maksimalt "miste" ett primtall fra [tex]A_n[/tex], og maksimalt få ett nytt primtall. Det betyr at følgen [tex](P(A_i))^{\infty}_1[/tex] aldri "hopper over" et heltall. Videre er [tex]A_1 > 17[/tex], og [tex]P(A_i)[/tex] vil på et eller annet tidspunkt synke under 17 (kan vises ved http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem) , ved motsigelsen i at [tex]\pi(2011N) = P(A_1)+P(A_{2011})+...+P(A_{2011(N-1)}) \geq 17N \Rightarrow \frac{\pi(2011N)}{\frac{2011N}{\log(2011N)}} \geq \frac{17}{2011 \log(2011N))} \to 0[/tex]. Dermed vil [tex]P(A_k) = 17[/tex] for et eller annet tall k. [tex]A_k[/tex] er dermed en mengde av 2011 påfølgende heltall slik at nøyaktig 17 av dem er primtall.

EDIT: Eventuelt så kan man la n=2010!, for da vil [tex]P(A_n) \leq 1[/tex], og vi har det vi trenger.