Hei!
Trodde jeg hadde full kontroll på å finne basiser og slik, men fikk meg et lite sjokk når jeg skulle gjøre en oppgave her. Regner med det er noe i den generelle forståelsen som er feil. Jeg har fått en symetrisk matrise hvor trasen er 0, dette er greit nok. Men kan ikke dette betraktes som 3 vektorer i |R^3? Og vil ikke dermed basisen til underrommet bli maks 3 vektorer som jeg får ved å bruke gauss opperasjoner på matrisen? Disse 3 vektorene må så være lineært uavhengi og spanne underrommet, men dette er jo relativt enkelt å gjøre. Problemet er at det er gitt et "hint" med oppgaven, at svaret skal skrives som en k-tuppel, G( [matrise1], [matrise 2] og [matrise 3]). Det er her jeg detter av. Skal ikke svaret rett og slett bli en 3x3 matrise som har maksimalt 3 rader, hvor disse tre vektorene blir et underrom?
Beklager for at det ble ganske uoversiktelig, men håper dere forstår.
Matrisen er forøvrig
[-4 1 -2]
[ 1 9 3]
[-2 3 5]
Finne basis til 3X3 matrise
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja denne ser jeg, men problemet hvordan jeg skal dekomponere denne matrisen. Den er grei nok å sette en vektor på rad 1 i matrise en, neste vektor på rad to i matrise to osv., men i eksemplet ga foreleseren oss dette:
G = ( [-4 1 -2 ] , [1 0 0] , [1 0 0] )
( [1 9 3/2] , [0 1 0] , [0 1 0] )
( [-2 3/2 -5] , [0 0 -2] , [0 0 1] )
Jeg ser ikke hvordan du skal dekomponere. Hadde satt utrolig pris på om noen kunne tatt et raskt eksempel bare så jeg ser mekanikken i det.
På forhond takk!
Edit: Beklager at matrisene ble så uoversiktelig, men klarte ikke fikse dette. Meningen er at hver 3x3 matrise er avskilt med komma
G = ( [-4 1 -2 ] , [1 0 0] , [1 0 0] )
( [1 9 3/2] , [0 1 0] , [0 1 0] )
( [-2 3/2 -5] , [0 0 -2] , [0 0 1] )
Jeg ser ikke hvordan du skal dekomponere. Hadde satt utrolig pris på om noen kunne tatt et raskt eksempel bare så jeg ser mekanikken i det.
På forhond takk!
Edit: Beklager at matrisene ble så uoversiktelig, men klarte ikke fikse dette. Meningen er at hver 3x3 matrise er avskilt med komma
Matriser kan du skrive slik:
[tex]\left [ \begin{array}{c|cc}a&b&c \\ \hline d&e&f\\g&h&i \end{array} \right ][/tex]
[tex]\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 3 & - 4\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\left ( \begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & - 4\end{array} \right ) [/tex]
Grunnen til at jeg bruker array istedenfor pmatrix er at man kan tweake array'en litt mer (mulig jeg tar feil og at man kan gjøre det samme med pmatrix), f.eks. legge inn linjer og sidejustere tall etc.
EDIT:
[tex]\left [ \begin{array}{c|cc}a&b&c \\ \hline d&e&f\\g&h&i \end{array} \right ][/tex]
Code: Select all
[tex]\left [ \begin{array}{c|cc}a&b&c\\ \hline d&e&f\\g&h&i \end{array} \right ][/tex]Code: Select all
[tex]\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 3 & - 4\end{pmatrix}[/tex]Code: Select all
[tex]\left ( \begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & - 4\end{array} \right ) [/tex]EDIT:
Last edited by Gustav on 21/03-2010 14:50, edited 1 time in total.
Eller slik:
[tex]\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}[/tex]
Code: Select all
[tex]\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}[/tex]Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Forstår ikke helt svaret på denne oppgaven. Er det kolonnebasisen du skal finne?
Det hadde i så fall vært, som du nevner i det første innlegget:
[tex]\begin{pmatrix}-4 & 1 & -2\\\;1 & 9 & \;3\\-2 & 3 & \;5\end{pmatrix}\,\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{pmatrix}-4\\\;1\\-2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\9\\3\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-2\\\;3\\\;5\end{pmatrix}\right\}[/tex]
Kan ikke huske å ha sett svaret skrevet ut som flere matriser før.
Ser heller ikke noe system i matrisene fra eksempelet til foreleseren bortsett fra at matrisene er radekvivalente, men det er vel ikke mer informasjon i forhold til den vanlige formen over?
Det hadde i så fall vært, som du nevner i det første innlegget:
[tex]\begin{pmatrix}-4 & 1 & -2\\\;1 & 9 & \;3\\-2 & 3 & \;5\end{pmatrix}\,\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{pmatrix}-4\\\;1\\-2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\9\\3\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-2\\\;3\\\;5\end{pmatrix}\right\}[/tex]
Kan ikke huske å ha sett svaret skrevet ut som flere matriser før.
Ser heller ikke noe system i matrisene fra eksempelet til foreleseren bortsett fra at matrisene er radekvivalente, men det er vel ikke mer informasjon i forhold til den vanlige formen over?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
@riquelme8 :
Du bør legge ut oppgaven nøyaktig (ord for ord) slik den er formulert. Det gjelder for øvrig alle som lurer på noe, syns jeg. Ofte sniker det seg inn misforståtte tolkninger av oppgaven o.l. som skaper hodebry for de som skal prøve å hjelpe.
Du bør legge ut oppgaven nøyaktig (ord for ord) slik den er formulert. Det gjelder for øvrig alle som lurer på noe, syns jeg. Ofte sniker det seg inn misforståtte tolkninger av oppgaven o.l. som skaper hodebry for de som skal prøve å hjelpe.
Oppgaven ord for ord er:
La V være vektorrommet av 3x3 matriser, og la W være underrommet av symetriske matriser med trasen = 0. Dvs. X ligger i W hvis og bare hvis X er symetrisk og trasen er lik 0. Det er også gitt matrisen B =[tex]\begin{pmatrix}-4 & 1 & -2 \\ 1 & 9 & 3 \\ -2 & 3 & -5\end{pmatrix}[/tex]
Finn en basis G til underrommet W. Svaret skal gies som k-tuppel av matriser.
La V være vektorrommet av 3x3 matriser, og la W være underrommet av symetriske matriser med trasen = 0. Dvs. X ligger i W hvis og bare hvis X er symetrisk og trasen er lik 0. Det er også gitt matrisen B =[tex]\begin{pmatrix}-4 & 1 & -2 \\ 1 & 9 & 3 \\ -2 & 3 & -5\end{pmatrix}[/tex]
Finn en basis G til underrommet W. Svaret skal gies som k-tuppel av matriser.
Oppgaven i sin helhet ligger forøvrig her:
http://lie.mat-stat.uit.no/kurs/mat-100 ... blig-2.pdf
Er oppgave 2a som ligger på side 3. Grunnen til at at det mot slutten av oppgaven er skrevet ut et eksempel er bare det at vi skal svare i et php-skript over nettet, så man må dekomponere matrisene..
http://lie.mat-stat.uit.no/kurs/mat-100 ... blig-2.pdf
Er oppgave 2a som ligger på side 3. Grunnen til at at det mot slutten av oppgaven er skrevet ut et eksempel er bare det at vi skal svare i et php-skript over nettet, så man må dekomponere matrisene..
En basis for underrommet bestående av alle symmetriske 3x3-matriser med trase=0 vil f.eks. være disse:
[tex]\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0& 0&0\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 1& 0&0\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0& 1&0\end{pmatrix}[/tex]
Ser du hvorfor?
For å vise at dette utgjør en basis for W må du vise at disse 5 matrisene er lineært uavhengige og at dimensjonen til underrommet W er 5.
[tex]\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0& 0&0\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 1& 0&0\end{pmatrix}[/tex],[tex]\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0& 1&0\end{pmatrix}[/tex]
Ser du hvorfor?
For å vise at dette utgjør en basis for W må du vise at disse 5 matrisene er lineært uavhengige og at dimensjonen til underrommet W er 5.