Differensiallikning

[aiv]

Oppgaven:
a) Løs differensiallikningssettet

dx/dt= 0:02x + 8

dy/dt = 0:02x - 0:01y

I resten av oppgaven betrakter vi to tanker, tank X og tank Y . Tiden t
måles i minutter. Ved tiden t = 0 inneholder tank X 20 kg salt oppløst i 200
liter vann, mens tank Y inneholder 80 kg salt oppløst i 400 liter vann. Vi regner
at oppløsningene alltid har samme volum som vannet ville ha hatt uten at salt
var oppløst.
Inn i tank X renner det 4 liter per minutt av en saltoppløsning med konsen-
trasjon 2 kg/l. Fra tank X til tank Y renner 4 l oppløsning per minutt gjennom
et rør, og fra tank Y renner det 4 l oppløsning per minutt ut gjennom et annet
rør. Vi regner at oppløsningene i tank X og tank Y alltid er godt blandet.

b) Sett opp et di¤erensiallikningssett som beskriver endringen av saltmeng-
den x (t) i tank X og endringen av saltmengden y (t) i tank Y med tiden
t.

c) Bestem de funksjonene x (t) og y (t) som angir saltmengden i tank X og
saltmengden i tank Y som funksjon av tiden t:

[aiv]

Er det noen som kan løse denne oppgaven?

[Janhaa]

hva mener du?

[tex]x^,=0,02x+8[/tex]
[tex]y^,=0,02x-0,01y[/tex]

[Janhaa]

Mulig løsning:

Diff.likningssystemet kan uttrykkes på matriseform:

[tex]\left[\begin{matrix}\ x^,\\y^,\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}\ 0.02&0\\0.02&-0.01\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\ x\\y\end{matrix}\right][/tex]

bestem så egenverdiene (lambda1 og lambda2) til 2x2 matrisa over.

disse kan skrives på formen under:

[tex]x \;=\; Ae^{\lambda1} \:+\: Be^{\lambda2}[/tex]
[tex]y \;=\; Ce^{\lambda1} \:+\: De^{\lambda2}[/tex]

A, B, C og D er konstanter.