Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Sliter litt med funksjoner så er godt med all hjelp jeg kan få ^^
En funksjon [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]x^2 - k x + 2 k[/tex], og en annen funksjon [tex]g(x)[/tex] er gitt ved [tex]5 k - k^2 + x[/tex]
a) Definer når [tex]f(x)[/tex] har et, to eller ingen nullpunkter.
b) Finn ut når det er null, to eller et krysningspunkt mellom [tex]f(x)[/tex] og g(x)
c) Finn det laveste tallet der [tex]x[/tex] skjærer x-aksen for [tex]g(x)[/tex]. Antar de mener det tallet lengst til venstre.
d) Vi trekker en strek parallelt mellom [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex] mellom funksjonenes krysningspunkt. Hva er den lengste avstanden denne linjen kan ha ?
På c) kan du jo bruke derivasjon. Hva gjelder for g(x) i krysningspunktet med x-aksen? Kan dette gi deg en relasjon mellom x og k som du kan bruke videre til å finne når x er minst?
Da har jeg klart alle utenom den siste, skal tenke litt mer over den. Implisitt derivasjon er en fin ting ja. Og å legge merke til at g(x) er symmetrisk.
[tex] g^{\prime}\left( k \right) = k - \frac{5}{2} [/tex]
[tex] k = \frac{5}{2} [/tex]
[tex] g\left( k \right) = 5k - {k^2} + x \Rightarrow g\left( {\frac{5}{2}} \right) = 5\left( {\frac{5}{2}} \right) - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + x \Rightarrow \left( {\frac{{100 - 25}}{4}} \right) + x = 0 \Rightarrow x = - \frac{{15}}{4} [/tex]
Altså er den minste verdien [tex]x[/tex] kan ha
[tex]g\left( k \right) = 5k - {k^2} + x \Rightarrow g\left( {\frac{5}{2}} \right) = 5\left( {\frac{5}{2}} \right) - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + x \Rightarrow x + \frac{{25}}{2} - \frac{{25}}{4} \Rightarrow x + \frac{{50 - 25}}{4} \Rightarrow x = - \frac{{25}}{4}[/tex]
Det var faktisk ikke implisitt derivasjon jeg hadde i tankene, men jeg ser jo nå at det i grunn er det som skjer... For å føre det mer VGS-vennlig blir det noe slikt:
g(x) = 0 når den krysser x-aksen. Da må [tex]5k - k^2 + x = 0[/tex]. Det gir oss at i et hvert krysningspunkt med x-aksen så er x-verdien gitt ved [tex]x = k^2 - 5k[/tex]. Altså kan vi si at x i krysningspunktet er en funksjon av k: [tex]x(k) = k^2 - 5k[/tex]. Den minste x-verdien i et krysningspunkt blir da minimumet til denne funksjonen som vi finner ved å derivere med hensyn på k og sette lik 0 og så videre.
Når det gjelder d) så er det å tenke i lignende baner igjen. Begynn f.eks. med å finne et uttrykk for krysningspunktene uttrykt ved k...
Da er du på rett spor. Men når du har funnet h(x), hvorfor begynner du å uttrykke k ved x?
Jeg ville ha fortsatt som man ville gjort om k var et eller annet tall. Da ville du vel ha derivert h med hensyn på x og satt lik 0. Det gir deg et uttrykk for x-verdien til bunnpunktet til h ( der høyden er størst.) Nå kan du sette dette uttrykket inn for x i høydefunksjonen for å finne høyden i dette punktet. Da vil du sitte igjen med maksimumshøyden for alle funksjoner som funksjon av k.
Først og fremst kan du jo regne x-verdien ut fra at x = 2k -3.
Grunnen til at det blir feil svar med den metoden du bruker, er rett og slett at du går ut i fra at h(7/3) = 0 (siden du faktoriserer som om det skulle stått det). Du må huske at høyden skal være lik 13/3.
Småprik, men i tillegg er det feil å skrive h(7/3) og så sette inn for k når det faktisk er en funksjon av x.
