Det uegentlige integralet fra 0 til uendelig: arctanx / x^2

[flexdmath]

Hei på dere igjen! Her kommer en ny godbit (som jeg også ikke helt forstår fra eksamen i mat1100 UiO).

Slik jeg forstår teorien bak uegentlige integraler, definerer grenseverdien til integralet fra a ti b på x, størrelsen til arealet under grafen. Deretter følger visse forholdsregler for om funksjonen konvergerer eller ikke, og at det er et poeng og finne ut av det.

I dette tilfellet, sier fasit fra professor kort at vi skal gjøre en delvis integrasjon, og at jeg skal komme frem til pi/4, og 1/2 ln 2. Okei, tenker jeg? Jeg forstår mhp hvordan integralet ser ut at det er det vi må gjøre for å regnet ut integralet. MEN, skal jeg ikke finne grenseverdiene ? Er svaret professor kommer med grenseverdien?

Jeg forsøkte først å gjøre en delvis integrasjon av integralet uten grenser bare for å sjekke hva jeg fikk:

-x^-1*arctan x + ln x + ½ x^2

Dette utelater grensene.

m grensene, blir jeg usikker på om hvordan jeg behandler første delen av integralet.

Alikevel, om jeg tar grensene, så får jeg jo:

-x^-1arctan x + ln b + (1/2b^2 - ½*1^2).

Uansett forstår jeg ikke hvordan han kommer frem til at grensene blir pi/4, og ½ ln2, så jeg regner feil et sted! Og det er irriterende
Har noen et godt råd eller to?
Mvh
Felix Anker Klein

[Markonan]

Uttrykket du kommer frem til etter det ubestemte integralet er ikke helt riktig. Du begynner med delvis integrasjon og kan da gjøre en delbrøkoppspalting i det andre steget.

[tex]\int \frac{1}{x^2}\arctan(x)\,dx\;\Rightarrow\;-\frac{1}{x}\arctan(x) + \int \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2 + 1}\,dx[/tex]

Vi ser på det nye integralet på egenhånd;
[tex]\int (\frac{1}{x})(\frac{1}{x^2 + 1})\,dx \;=\; \int(\frac{1}{x})(\frac{1}{x+i})(\frac{1}{x-i})\,dx[/tex]

Der kan man bruke delbrøkoppspalting.
[tex](\frac{1}{x})(\frac{1}{x+i})(\frac{1}{x-i}) \;=\; \frac{A}{x} + \frac{B}{x+i} + \frac{C}{x-i}[/tex]

Løser dette på vanlig måte, og slår man sammen B og C leddet blir man kvitt de imaginære i'ene, og du får:
[tex]\frac{A}{x} + \frac{B}{x+i} + \frac{C}{x-i} \;=\; \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}[/tex]

Dette kan du sette i integralet du opprinnelig hadde, og du har:
[tex]-\frac{1}{x}\arctan(x) + \int \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2 + 1}\,dx\;\Rightarrow\;-\frac{1}{x}\arctan(x) + \int\frac{1}{x}\,dx - \int\frac{x}{x^2 + 1} \;=\;\\ -\frac{1}{x}\arctan(x) + \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+1)[/tex]

Prøv grensene igjen med dette svaret.
(Merk at det er et usynlig konstantledd med i resultatet ).

[Gustav]

Hei på dere igjen! Her kommer en ny godbit (som jeg også ikke helt forstår fra eksamen i mat1100 UiO).

Slik jeg forstår teorien bak uegentlige integraler, definerer grenseverdien til integralet fra a ti b på x, størrelsen til arealet under grafen. Deretter følger visse forholdsregler for om funksjonen konvergerer eller ikke, og at det er et poeng og finne ut av det.

I dette tilfellet, sier fasit fra professor kort at vi skal gjøre en delvis integrasjon, og at jeg skal komme frem til pi/4, og 1/2 ln 2. Okei, tenker jeg? Jeg forstår mhp hvordan integralet ser ut at det er det vi må gjøre for å regnet ut integralet. MEN, skal jeg ikke finne grenseverdiene ? Er svaret professor kommer med grenseverdien?

Jeg forsøkte først å gjøre en delvis integrasjon av integralet uten grenser bare for å sjekke hva jeg fikk:

-x^-1*arctan x + ln x + ½ x^2

Dette utelater grensene.

m grensene, blir jeg usikker på om hvordan jeg behandler første delen av integralet.

Alikevel, om jeg tar grensene, så får jeg jo:

-x^-1arctan x + ln b + (1/2b^2 - ½*1^2).

Uansett forstår jeg ikke hvordan han kommer frem til at grensene blir pi/4, og ½ ln2, så jeg regner feil et sted! Og det er irriterende
Har noen et godt råd eller to?
Mvh
Felix Anker Klein

Poenget med uegentlige integraler er at integranden ikke nødvendigvis er definert på hele integrasjonsområde (eller at integrasjonsgrensen strekker seg mot uendelig), men at det bestemte integralet gis en mening gjennom at vi tolker det som en grenseverdi til den antideriverte.

[flexdmath]

Hei igjen og takk for svar!

Jeg forstår fremgandsmetoden, men jeg klarer ikke å finne konstantene rett, og fellesnevner blir vel x(x^2+1)?

1 = A(x^2+1) + B*x= Ax^2 + A + Bx

1 = Ax^2 + A + Bx

Her stopper det litt...

hmmm. .

0 = Ax^2 gir a=0
0 = Bx gir B = 0
1 = A.....


A =1 og B=x. Jeg er med at A helt enkelt blir en fordi A er av samme grad som telleren til integralet.

Men hva skjer med førstegradsuttrykket? Det skal jkoj bli X! Arggg

Mvh
Felilx

[Markonan]

Jeg bruker en litt annen måte enn den de har i kalkulus, men kan forklare den. Synes selv den er litt enklere og bruke! Skriver en grundig gjennomgang; derfor blir det litt langt.

Vi har funksjonen
[tex]f(x) = \frac{1}{x(x+i)(x-i)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+i} + \frac{C}{x-i}[/tex]

Vi ganger f med x, og får en "ny" funksjon vi kaller h(x):
[tex]h(x) = x\cdot f(x) = A + \frac{Bx}{x+i} + \frac{Cx}{x-i}[/tex]

Ser vi på h(0), får vi:
[tex]h(0) = A + 0 + 0 = A[/tex]

[tex]h(x) = xf(x) = \frac{1}{x^2+1} \;\Rightarrow\; A = h(0) = \frac{1}{0^2+1} = 1[/tex]

Finner B:
[tex]g(x) = (x+i)f(x) = \frac{A(x+i)}{x} + B + \frac{C(x+i)}{x-i}[/tex]

[tex]g(-i) = 0 + B + 0 = B[/tex]

[tex]g(x) = \frac{1}{x(x-i)}\;\Rightarrow\;B = g(-i) = \frac{1}{-i(-2i)} = -\frac{1}{2}[/tex]

Og C finner vi på samme måte.
[tex]k(x) = (x-i)f(x) = \frac{A(x-i)}{x} + \frac{B(x-i)}{x+i} + C[/tex]

[tex]k(i) = 0 + 0 + C = C[/tex]

[tex]k(x) = \frac{1}{x(x+i)}\;\Rightarrow\; C = k(i) = \frac{1}{i(2i)} = -\frac{1}{2}[/tex]

Setter inn A,B og C i f(x):
[tex]f(x) = \frac{1}{x(x+i)(x-i)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+i)} - \frac{1}{2(x-i)}[/tex]

Vi kan faktorisere ut -1/2 fra de to siste leddene, og kan trekke de sammen.
[tex]\frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+i)} - \frac{1}{2(x-i)} \;=\; \frac{1}{x} - \frac{1}{2}(\frac{1}{x+i} + \frac{1}{x-i}) =\\ \frac{1}{x} - \frac{1}{2}(\frac{x-i\,+\,x+i}{x^2+1}) \;=\; \frac{1}{x} - \frac{1}{2}(\frac{2x}{x^2+1}) \;=\; \underline{\underline{\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}}}[/tex]

[Markonan]

Hvis ikke har du den vanlige måten å løse det på på:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 3+%2B+x%29
(under partial fraction expansion og 'Show Steps').

De bruker litt lineær algebra i stedet for ligninger med flere ukjente, men det skal være til hjelp om min metode ikke falt i smak.

[flexdmath]

Hei igjen! Nå har jeg regnet hele stykke for meg selv, og jeg føler jeg forstår det meste. Men jeg forstår ikke hvordan jeg skal ta grenseverdien slik fra det siste svaret, som du beskriver.

Til å begynne med, så har vi jo integralet til to funksjoner i brøk, og når vi regner ut, så får jeg arctan x utenfor integralet. Betyr dette at jeg skal ta grenseverdien til ... enten 0 eller uendelig og kun det, på hele svaret?

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal "se og tenke" når integralene er regnet ut uten grensene. Det jeg har tenkt at jeg kan gjøre, er jo å løse de siste integralene i stykke med hensyn på 0 og uendelig, men da får jeg ingen grense, kun 1/2 lg til a = Uendelig, og det blir jo uendelig... osv ?

Mvh
Felix

[flexdmath]

Eller er det en horisontal asymtote som utgjør grenseverdien her?

Felix