Hvordan komme fram til denne kvadratroten?

[Wentworth]

La [tex]\: z=a+ib \:[/tex]. Vis at kvadratroten til z er på formen:

[tex]w=+- ( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} + \frac{a}{2}} + \epsilon i \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}-\frac{a}{2})[/tex].

der [tex]\: \epsilon \:[/tex] er enten 1 eller -1.

Prøvde slik:

Jeg observerte først at [tex]\: r=|z|= \sqrt{a^2+b^2}[/tex].
Og [tex]\: re^{i o}\:[/tex], der (o er vinkelen).

Da har jeg [tex]\: w= \sqrt{a^2+b^2}e^{io}[/tex].

Men å gi et uttrykk for hva denne vinkelen kan skrives som kan jeg kanskje nærme meg uttrykket for kvadratroten som er vist øverst.

Hvis dette høres ut som feil, hvilken måte og hvordan skal man kunne vise denne kvadratroten?

På forhånd takk!

[Vishvish]

En (uelegant) måte å komme frem til det på er i alle fall å skrive w som:
[tex]w=c+id \Rightarrow z=a+ib=w^2=c^2-d^2+2icd[/tex]
Altså må [tex]a=c^2-d^2[/tex] og [tex]b=2cd[/tex]
To ligninger med to ukjente som du lett kan løse og få det du skulle vise.

Går sikkert an å vise med [tex]z=re^{io}[/tex] eller [tex]r(cos(o)+isin(o))[/tex], men denne måten var det første som falt meg inn
Du får i hvert fall at vinkelen halveres når du tar roten, evt. [tex]\sqrt{e^{io}}=e^{\frac{io}{2}}[/tex] eller [tex]\sqrt{z}=\sqrt{r}(cos(\frac{o}{2})+isin(\frac{o}{2}))[/tex]

[meCarnival]

[tex]\pm[/tex]

[Wentworth]

Greit å vite hvordan man skriver det i tex.

Uttrykket jeg får er:

[tex]r^{\frac{1}{2}}e^{\frac{io}{2}}=\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot (cos {\frac{o}{2}} + isin\frac{o}{2})[/tex]

Hvordan kan man fikse på cos og sin uttrykket slik at man får det samme uttrykket som øverst(kvadratsrotsuttrykket)?

[Realist1]

[tex]\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

[tex]\sqrt[4]{a^2+b^2}[/tex] altså?

[Wentworth]

Yupp, og fikk det til.