Vi har en reell følge [tex](x_n)[/tex] slik at
[tex]\lim_{n \to \infty} (x_n-x_{n-2})=0[/tex]
Vis at [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{n}=0[/tex]
Grenser
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Kan hende jeg oversimplifiserer, men siden [tex]\infty\not\in\mathbb{R}[/tex], må [tex]a_n-a_{n-1}<\infty[/tex] og da går det vel av seg selv, ettersom [tex]\frac{a}{\infty}=0[/tex]?
Last edited by espen180 on 30/10-2009 18:12, edited 1 time in total.
Hmm, jeg ser ikke helt hvordan andre linje følger fra første. Kanskje er det riktig, kunne du utdype?plutarco wrote:[tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\frac{x_n-x_{n-2}-x_{n-1}+x_{n-2}}{n}[/tex]
så
[tex]2\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-2}}{n}=0[/tex]
Tja, mulig det ikke stemmer helt. Det føltes litt tvilsomt ved nærmere ettersyn.Charlatan wrote:Hmm, jeg ser ikke helt hvordan andre linje følger fra første. Kanskje det er riktig, kunne du utdype?plutarco wrote:[tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\frac{x_n-x_{n-2}-x_{n-1}+x_{n-2}}{n}[/tex]
så
[tex]2\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-2}}{n}=0[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
La [tex]b_n=(-1)^n(x_n-x_{n-1})[/tex]. Da oversettes betingelsen til [tex]\lim (b_n-b_{n-1})=0[/tex], slik at for alle epsilon>0 kan vi finne en N slik at [tex]|b_n-b_{n-1}|<\epsilon[/tex] for n>N.
Gitt epsilon er for tilstrekkelig store n [tex]|b_n|=|b_n-b_{n-1}+b_{n-1}-b_{n-2}+b_{n-2}-\dots+b_{N+1}-b_N+b_N| \\ \le|b_n-b_{n-1}|+|b_{n-1}-b_{n-2}|+\dots+|b_{N+1}-b_N|+|b_N|<(n-N)\epsilon+|b_N|[/tex].
Deler vi på n og tar grensa får vi [tex]\lim\frac{|x_n-x_{n-1}|}n=\lim\frac{|b_n|}n<\epsilon[/tex] og påstanden følger.
Gitt epsilon er for tilstrekkelig store n [tex]|b_n|=|b_n-b_{n-1}+b_{n-1}-b_{n-2}+b_{n-2}-\dots+b_{N+1}-b_N+b_N| \\ \le|b_n-b_{n-1}|+|b_{n-1}-b_{n-2}|+\dots+|b_{N+1}-b_N|+|b_N|<(n-N)\epsilon+|b_N|[/tex].
Deler vi på n og tar grensa får vi [tex]\lim\frac{|x_n-x_{n-1}|}n=\lim\frac{|b_n|}n<\epsilon[/tex] og påstanden følger.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Holder påstanden hvis vi erstatter nevneren i grenseverdien vi skal vise med log(n)? Hva med n^p for p<1?
La [tex]x_n=(-1)^n\sum^n_{k=1} k^s[/tex] for [tex]s[/tex] slik at [tex]0<s<1[/tex].
Da er [tex]x_n-x_{n-2}= (-1)^n \left( n^s+(n-1)^s\right)[/tex] som åpenbart konvergerer mot 0.
Vi har at [tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}=(-1)^n\left(\frac{2\sum^{n-1}_{k=1} k^s}{n^p}+ n^{s-p}\right)[/tex]
[tex]\sum^{n-1}_{k=1} k^s>\int ^{n-1}_1 x^s \rm{d}x=\frac{(n-1)^{s+1}-1}{s+1}[/tex]
Så [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|>2\frac{(n-1)^{s-p+1}}{s+1}+ n^{s-p}-\frac{2}{(s+1)n^p}[/tex]
Siden [tex]0<p<1[/tex], har vi at [tex]\lim_{n \to \infty}|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|=\frac{2}{s+1}\lim_{n \to \infty}(n-1)^{s-p+1}+\lim_{n \to \infty}n^{s-p}[/tex]
Velger vi [tex]s=\frac{p+1}{2}[/tex], vil [tex]s-p+1=\frac{3-p}{2}>1[/tex]; og [tex]s-p=\frac{1-p}{2}>0[/tex], så grenseverdien vil divergere.
Siden [tex]\log n[/tex] vokser fundamentalt saktere enn [tex]n^p[/tex], vil også [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{\log n}|[/tex] divergere. (Sammenlikningstest)
Da er [tex]x_n-x_{n-2}= (-1)^n \left( n^s+(n-1)^s\right)[/tex] som åpenbart konvergerer mot 0.
Vi har at [tex]\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}=(-1)^n\left(\frac{2\sum^{n-1}_{k=1} k^s}{n^p}+ n^{s-p}\right)[/tex]
[tex]\sum^{n-1}_{k=1} k^s>\int ^{n-1}_1 x^s \rm{d}x=\frac{(n-1)^{s+1}-1}{s+1}[/tex]
Så [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|>2\frac{(n-1)^{s-p+1}}{s+1}+ n^{s-p}-\frac{2}{(s+1)n^p}[/tex]
Siden [tex]0<p<1[/tex], har vi at [tex]\lim_{n \to \infty}|\frac{x_n-x_{n-1}}{n^p}|=\frac{2}{s+1}\lim_{n \to \infty}(n-1)^{s-p+1}+\lim_{n \to \infty}n^{s-p}[/tex]
Velger vi [tex]s=\frac{p+1}{2}[/tex], vil [tex]s-p+1=\frac{3-p}{2}>1[/tex]; og [tex]s-p=\frac{1-p}{2}>0[/tex], så grenseverdien vil divergere.
Siden [tex]\log n[/tex] vokser fundamentalt saktere enn [tex]n^p[/tex], vil også [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{\log n}|[/tex] divergere. (Sammenlikningstest)
Last edited by Charlatan on 03/11-2009 22:59, edited 2 times in total.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Virker bra. Et par mindre trykkfeil som ikke har noe å si for resultatet, skal være 2 i en nevner og den første grenseverdien skal være større enn det som følger. Men tankegangen er rett, og det er det viktigste.
Jeg innså nå at løsningen over er helt feil. [tex]x_n-x_{n-2}[/tex] konvergerer åpenbart ikke mot 0.
Her er en ny og mye enklere:
La [tex]x_n=(-1)^n n^s[/tex] hvor s er et rasjonalt tall mellom 0 og 1.
Da er [tex]x_{n}-x_{n-2}=(-1)^n (n^s-(n-2)^s)[/tex] som konvergerer mot 0. Det kan ses fra binomialekspansjonene.
Men [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n}|=n^{s-p}+\frac{(n-1)^s}{n^p}>n^{s-p}[/tex]. Velger vi et rasjonalt tall s mellom [tex]\frac{p+1}{2}[/tex] og 1 får vi at grenseverdien divergerer.
Her er en ny og mye enklere:
La [tex]x_n=(-1)^n n^s[/tex] hvor s er et rasjonalt tall mellom 0 og 1.
Da er [tex]x_{n}-x_{n-2}=(-1)^n (n^s-(n-2)^s)[/tex] som konvergerer mot 0. Det kan ses fra binomialekspansjonene.
Men [tex]|\frac{x_n-x_{n-1}}{n}|=n^{s-p}+\frac{(n-1)^s}{n^p}>n^{s-p}[/tex]. Velger vi et rasjonalt tall s mellom [tex]\frac{p+1}{2}[/tex] og 1 får vi at grenseverdien divergerer.
Fant et bevis for at [tex]n^s-(n-2)^s[/tex] konvergerer mot 0 som trengs i beviset ovenfor. Dette gjelder forresten like godt for alle konstanter, ikke bare -2.
La [tex]s=\frac{p}{q}[/tex] hvor [tex]0<s<1[/tex]. Da er
[tex]n^s-(n-2)^s=n^{\frac{p}{q}}-(n-2)^{\frac{p}{q}}=\frac{n^p-(n-2)^p}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}}=\frac{\sum^p_{i=1}{p \choose i}(-2)^{i+1}n^{p-i}}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}} \\ =\frac{O(n^{p-1})}{O\left( n^{\frac{p(q-1)}{q}} \right)}=O \left( n^{p-1-\frac{p(q-1)}{q}}\right)=O(n^{\frac{p}{q}-1}) \to 0[/tex]
med litt uformell bruk av O-notasjon.
La [tex]s=\frac{p}{q}[/tex] hvor [tex]0<s<1[/tex]. Da er
[tex]n^s-(n-2)^s=n^{\frac{p}{q}}-(n-2)^{\frac{p}{q}}=\frac{n^p-(n-2)^p}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}}=\frac{\sum^p_{i=1}{p \choose i}(-2)^{i+1}n^{p-i}}{\sum^p_{k=1} n^{\frac{p}{q}(q-k)}(n-2)^{\frac{p}{q}(k-1)}} \\ =\frac{O(n^{p-1})}{O\left( n^{\frac{p(q-1)}{q}} \right)}=O \left( n^{p-1-\frac{p(q-1)}{q}}\right)=O(n^{\frac{p}{q}-1}) \to 0[/tex]
med litt uformell bruk av O-notasjon.