Substitusjon med Bestemt Integral

[Itchy]

Hei igjen,

Dette er faktisk en oppgave fra Oblig2 for MAT1100:

c) Finn arealet under grafen til f(x) over x-aksen og mellom x = [symbol:pi]/6 og x = 5[symbol:pi]/6.

f(x) = [tex] \frac{sin x}{sin^2x(5 + 4cos^2x)} [/tex]

Bruk u = cos x.

Jeg har regnet meg gjennom en del:


b = [tex]\frac{5pi}{6}[/tex]
a = [tex]\frac{pi}{6}[/tex]

[tex]\int^b_a \frac{sin x}{sin^2x(5 + 4cos^2x)} * dx [/tex]

du = - sin x dx

[tex]\int^b_a \frac{-du}{sin^2x(5 + 4cos^2x)}[/tex]

[tex]\int^b_a \frac{-du}{(1-cos^2x)(5+4cos^2x)} [/tex]

husker at cos x = u

[tex]\int^b_a \frac{-du}{(1-u^2)(5+4u^2)} [/tex]

[tex]\int^b_a \frac{-du}{5 + 4u^2 - 5u^2 - 4u^4}[/tex]

[tex]\int^b_a \frac{-du}{5 - u^2 - 4u^4}[/tex]

Og her sitter jeg fast. Hvordan skal jeg løse dette videre?

[tex]\int^b_a \frac{-du}{- 4u^4 - u^2 + 5}[/tex]

[Andreas345]

[tex]-\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{(1-u^2)(5+4u^2)} \ du [/tex]

[tex]-\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)} \ du [/tex]

Bruk så delbrøkoppspalting.

[sirins]

Integrasjonsgrensene må også regnes ut på nytt pga substitusjonen

[Itchy]

Blir det tre konstanter da, A, B og C?

Forsøk:

[tex]-\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)} \ du[/tex]

[tex]-\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}+\frac{C}{5+4u^2} \ du[/tex]

[tex]-\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}} A(1+u)(5+4u^2) + B(1-u)(5+4u^2) + C(1-u^2) \ du[/tex]

Kan dette bli riktig? I læreboka er det ikke godt forklart hvordan jeg skal finne de konstantene, A, B, og C. Hvordan skal jeg finne de?

[Andreas345]

[tex]-\int \frac{1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)} \ du[/tex]

[tex]\frac {1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}+\frac{C}{5+4u^2} [/tex]

[tex]1=A(1+u)(5+4u^2) + B(1-u)(5+4u^2) + C(1-u^2) [/tex]

[tex]1=5A-5B+C+4Ax^2+4Ax^3-4Bx^2+4Bx^3-Cx^2+5Ax+5Bx[/tex]

[tex]1=(4A+4B)x^3+(4A-4B-C)x^2+(5A+5B)x+5A-5B+C[/tex]

Med dette får du tre ligningssett

[tex]4A+4B=0 \ \ \ 4A-4B-C=0 \ \ \ 5A-5B+C=1[/tex]

Bruk disse til å finne A, B og C.

[SILK]

Telleren blir vel [tex]C\cdot u+D[/tex] i siste brøk.

Telleren skal være en grad mindre enn nevneren, og siden det er et andregradspolynom i nevner må man ha et førstegradspolynom i teller.

[Andreas345]

Stemmer.. gikk litt fort i svingene der, men uansett så vil C=0 i dette tilfellet.

[Andreas345]

[tex]-\int \frac{1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)} \ du[/tex]

[tex]\frac {1}{(1-u)(1+u)(5+4u^2)}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}+\frac{Cx+D}{5+4u^2} [/tex]

[tex]1=A(1+u)(5+4u^2) + B(1-u)(5+4u^2) + (Cx+D)(1-u^2) [/tex]

[tex]1=5A-5B+D+4Au^2+4Au^3-4Bx^2+4Bu^3-Cu^3-Du^2+5Au+5Bu+Cu[/tex]

[tex]1=(4A+4B-C)u^3+(4A-4B-D)u^2+(5A+5B+C)u+5A-5B+D[/tex]

Da har du at.

[tex]4A+4B-C=0 \ \ \ 4A-4B-D=0 \ \ \ 5A+5B+C=0 \ \ \ 5A-5B+D=1 [/tex]

Bruk disse til å finne A, B, C og D

Fasit: ([tex]A=\frac{1}{18} \ \ \ B==-\frac{1}{18} \ \ \ C=0 \ \ \ D=\frac{4}{9}[/tex])

[Itchy]

Jeg antar at jeg kan løse ligningsett med 4 ukjente på samme måte som med to ukjente. Riktig?

[Betelgeuse]

Hmmm.. De konstantene fikk ikke jeg

Det stemmer Itchy!

[Andreas345]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 4x^2%29%29

De får samme konstanter