Integraler

[Charlatan]

Finn alle kontiunerlige funksjoner [tex]f:[0,1] \to (0,\infty)[/tex] slik at

[tex]\int^1_0 f(x) \rm{d}x=1[/tex]

[tex]\int^1_0 xf(x) \rm{d}x=\alpha[/tex]

[tex]\int^1_0 x^2f(x) \rm{d}x=\alpha^2[/tex]

hvor [tex]\alpha[/tex] er et reelt tall.

[Gustav]

Her ser det for meg ut til at f(x) er en sannsynlighetsfordeling på [0,1].

Har at [tex] Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\int_0^1x^2f(x)\,dx-(\int_0^1xf(x)\,dx)^2=\alpha^2-\alpha^2=0[/tex] som er ekvivalent med at f(x)=0 [i alle punkter unntatt ett(?)] unntatt på en delmengde med mål 0, noe som synes umulig for en kontinuerlig funksjon, (evt. kunne Diracs delta funksjon (eller en lineærkombinasjon av ulike Dirac funsksjoner) passet, men den er vel knapt nok kontinuerlig og heller tvilsom sådan)

Edit: Etter rettelser av mrcreosote.

[Charlatan]

Mulig dette stemmer, er ikke godt kjent med bevis for formler i statistikk. Det er imidlertid et mer elementært bevis tilgjengelig. Husk forresten at [symbol:funksjon](x) [symbol:ikke_lik] 0

[mrcreosote]

Trur statistikkframgangsmåten stemmer. Imidlertid kan f godt være ulik 0 i endelig mange punkter (og faktisk for noen f også i tellbart uendelig mange punkter), men det strider uansett mot at det første integralet skal være 1.

Her er, med sparsommelig notasjon, en annen løsning:

[tex]0=\alpha^2-2\alpha^2+\alpha^2=\alpha^2\int f-2\alpha\int xf+\int x^2f=\int(\alpha^2-2\alpha x+x^2)f=\int(x-\alpha)^2f[/tex]. Siden [tex](x-\alpha)^2>0[/tex] for alle [tex]x\neq\alpha[/tex], må f være 0 unntatt på en mengde med mål 0 som strider mot at integralet av f over [0,1] skal være 1.

[Charlatan]

Jepp, og løsningen din, plutarco, er ekvivalent siden [tex]Var(x)=\int^1_0 (x-\alpha)^2f(x) \rm{d}x.[/tex]