Ja, det er sant, jeg mente egentlig følgen. Men vil det si at i følgen a_n er d=1?
Og er det mulig å regne seg fram til det? Finner ingen formler for aritmetiske følger.
Eksamen R2 20.05.09
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Ja, for følgen {a_n} er d=1 sidenthmo skrev:Ja, det er sant, jeg mente egentlig følgen. Men vil det si at i følgen a_n er d=1?
Og er det mulig å regne seg fram til det? Finner ingen formler for aritmetiske følger.
a_0=1
a_1=2
a_2=3
a_3=4
etc. Derfor er [tex]a_{n+1}-a_n=1[/tex] for alle n
Ja, det er jeg med på. Men oppgaven sier at [tex]a_n=1+2+3+...+n[/tex] så det er derfor jeg ikke skjønner helt og når jeg skulle finne a_1, a_2, a_3 etc i en annen oppgave så var de 1, 3, 6 osv.
Men ihvertfall så skjønner jeg at jeg må lese mer om dette
Men ihvertfall så skjønner jeg at jeg må lese mer om dette
Jeg sitter her og løse gamle eksamensoppgave for R2, og skulle sjekke mine løsninger. Så fandt denne tråd, jeg forstår bare ikke helt løsningen til 5d, jeg har løst den som følger, er der en der kan overskue hva som er den korrekte løsning?
[tex]a_1 + a_2 +a_3+a_4+ a_5+ a_n =s_n [/tex]
[tex] 1+3+6+10+15+.........\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
tester for n=1
[tex]\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1(1+1)(1+2)}{2}[/tex]
1=1, så OK
forutsetter at n=t
[tex]1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2} = \frac{t(t+1)(t+2)}{6}[/tex]
tester for n =t+1
[tex]1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2}+\frac{(t+1)((t+1)+1)}{2} = \frac{t+1((t+1)+1)((t+1)+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{t(t+1)(t+2)}{6} +\frac{(t+1)(t+2)}{2} = \frac{(t+1)(t+2)(t+3)}{6}[/tex]
når alt er regnet sammen så
[tex]\frac{t^3 +6t^2+ 11t +6}{6} = \frac{t^3+6t^2 +11t +6}{6}[/tex]
Da V.S.= H.S. er dette bevist
[tex]a_1 + a_2 +a_3+a_4+ a_5+ a_n =s_n [/tex]
[tex] 1+3+6+10+15+.........\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
tester for n=1
[tex]\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1(1+1)(1+2)}{2}[/tex]
1=1, så OK
forutsetter at n=t
[tex]1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2} = \frac{t(t+1)(t+2)}{6}[/tex]
tester for n =t+1
[tex]1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2}+\frac{(t+1)((t+1)+1)}{2} = \frac{t+1((t+1)+1)((t+1)+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{t(t+1)(t+2)}{6} +\frac{(t+1)(t+2)}{2} = \frac{(t+1)(t+2)(t+3)}{6}[/tex]
når alt er regnet sammen så
[tex]\frac{t^3 +6t^2+ 11t +6}{6} = \frac{t^3+6t^2 +11t +6}{6}[/tex]
Da V.S.= H.S. er dette bevist
Andreas345 skrev:
d) Bruk induksjon til å bevise at formelen [tex]S_n=\frac {n(n+1)(n+2)}{6}[/tex] er riktig.
Vi har rekken: [tex]1+4+10+20+35+...+A_n=S_n[/tex]
Sjekker om formelen stemmer for n=1.
[tex]S_1=1[/tex]
[tex]S_1=\frac {1(1+1)(1+2)}{6}=1[/tex]
Venstre side = Høyre side, formelen stemmer da for n=1.
Antar at formelen er rett for n=k
[tex]1+4+10+20+35+...+a_k=S_k[/tex]
Formelen må da være rett for n=k+1.
[tex]1+4+10+20+35+...+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}[/tex]
[tex]1+4+10+20+35+...+\frac {k(k+1)}{2}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}=\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex]
[tex]1+4+10+20+35+...+a_k[/tex] Definerte jo vi som [tex]S_k[/tex] tidligere, så hvis [tex]S_k+a_{k+1}=S_{k+1}[/tex]. Stemmer formelen for allle heltallige verdier av n, som er slik at [tex]n\geq 1[/tex]
[tex]\frac {k(k+1)(k+2)}{6}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}[/tex]
[tex]\frac {k(k+1)(k+2)}{6}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}\cdot \frac {3}{3}[/tex]
[tex]\frac {k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{6}[/tex]
Etter å ha bearbeidet denne litt, ender du opp med
[tex]\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex] Q.E.D
-
Andreas345
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
Begge løsningene er jo korrekte, cluet er jo bare å bevise at [tex]S_k+a_{k+1}=S_{k+1}[/tex]
Jeg ser nå at det skulle ha stått 1+3+6+10+15 istedenfor 1+4+10+20+35, men det forandrer ikke måten oppgaven har blitt løst på.
Jeg ser nå at det skulle ha stått 1+3+6+10+15 istedenfor 1+4+10+20+35, men det forandrer ikke måten oppgaven har blitt løst på.
