Funksjonallikning

[Charlatan]

Finn alle deriverbare funksjoner [tex]f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}[/tex] som tilfredsstiller
[tex]f^{\prime}(x)=f(f(x))[/tex]

[FredrikM]

Gjorde litt, men sa stopp etter det:

Har at
[tex]f^,=f(f)[/tex] (enklere notasjon)

Ekvivalent med
[tex]\frac{f^,}{f(f)}=1[/tex]

Så ganger vi med [tex]f^,(f)[/tex] på begge sider av likhetstegnet.

[tex]\frac{f^,f^,(f)}{f(f)}=f^,(f)[/tex]

Nå kan vi integrere mhp på x på begge sider, og pga kjerneregelen integrerer vi på venstre side mhp f(f) og på høyre siden brukes analysens fundamentalteorem til å produsere [tex]f(f)[/tex]:

[tex]ln[f(f)]=f(f) + C \Leftrightarrow f(f)=De^{f(f)}[/tex]

Iflg Wikipedia gir dette at (hvor W er Lamberts omegafunksjon):

[tex]f(f)=W(-\frac{1}{F}-\frac{1}{F})[/tex]
hvor F er en eller annen konstant.

Men nå har jeg kun funnet et utrykk for f(f). Jeg vil ha f alene, og det har jeg ingen peiling hvordan man gjør. (forøvrig kan jeg jo ha gjort feil også!)

EDIT: Jada - har seff gjort feil, men det var i konverteringen til W-funksjonen. Det jeg kalte funksjonen er jo kun en konstant. Må ha blingset ett eller annet sted.

[Charlatan]

Det ser ut som at du har brukt at [tex]\int f^\prime(f(x))\rm{d}x=f(f(x))+C[/tex], men det stemmer jo ikke.

[FredrikM]

Blæh.

Seff. En tenkefeil, og man blir blind resten av dagen. (la noen med konsistent tankegang ta seg av slike ligninger)

[Charlatan]

Istedenfor å prøve å isolere f, bør du kanskje kikke på hva ligningen sier om hvordan f oppfører seg.

[Gommle]

f(x) = 0 er hvertfall en løsning. (Prøving og feiling)

[mrcreosote]

f(x) = 0 er hvertfall en løsning. (Prøving og feiling)

Nei, [tex]\mathbb{R}^+=(0,\infty)[/tex].

[Gommle]

Oops. Det tenkte jeg ikke på.

[Gustav]

[tex]f(x)[/tex] er monotont voksende og positiv.

Anta at [tex]f(x)[/tex] er en løsning.
Da må [tex]f^,(x)\to 0[/tex] når [tex]x\to -\infty[/tex], men da går [tex]f(x)[/tex] mot [tex]b[/tex] (konstant). Da vil i grensen [tex]f(f(x))=f(b)=0[/tex]. Men det går ikke ettersom [tex]f:R\to R^+[/tex]

Derfor ingen løsning.

[Charlatan]

Stemmer det ja, har du en oppfølger?

[mrcreosote]

Da må [tex]f^,(x)\to 0[/tex] når [tex]x\to -\infty[/tex], men da går [tex]f(x)[/tex] mot [tex]b[/tex] (konstant)

Dette trenger vel ikke å holde: Ta for eksempel på f(x)=log(-x).

Siden f er strengt voksende og f(x)>0, er f'(x)=f(f(0))>f(0) for alle x. Derfor må f(-1)+1*f(0)<f(0) (f må vokse mer enn f(0) fra -1 til 0), som gir motsigelsen f(-1)<0.

[Charlatan]

log(-x) er vel strengt synkende.

[mrcreosote]

Se på -log(-x) da. Poenget er at sjøl om den deriverte går mot 0, trenger ikke funksjonen gå mot en grenseverdi.

[Charlatan]

Se på -log(-x) da. Poenget er at sjøl om den deriverte går mot 0, trenger ikke funksjonen gå mot en grenseverdi.

Det er sant, men siden f er nedad begrenset og så stemmer det. -log(-x) har ingen nedre grense. Kan være plutarco glemte å si dette.

[espen180]

Forslag til oppfølger:

Finn alle deriverbare funksjoner [tex]f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}[/tex] slik at

[tex]f(x)=\frac{1}{g(x)}[/tex] og [tex]f^\prime (x)=\frac{1}{g^\prime (x)}[/tex]