derivasjon på "gamle"-måten

[Justin Sane]

Sliter litt med rotregninga i denne oppgaven, så langt har jeg kommet:

[tex]f(x) = {2 \over {\sqrt {4 - x} }}[/tex]

[tex]{{df} \over {dx}} ={\lim }\limits_{h \to 0} {{f(x + h) - f(x)} \over h}[/tex]

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{{2 \over {\sqrt {4 - (x + h)} }} - {2 \over {\sqrt {4 - x} }}} \over h}[/tex]

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{{{2\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {4 - (x + h)} } \over {\sqrt {4 - (x + h)} \cdot \sqrt {4 - x} }}} \over h}[/tex]

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{2(\sqrt {4 - x} - \sqrt {4 - (x + h)} )} \over {h\sqrt {[4 - (x + h)] \cdot [4 - x]} }}[/tex]


[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{2(\sqrt {4 - x} - \sqrt {4 - (x + h)} )} \over {h\sqrt {16 - 4x - 4h - 4x + {x^2} + hx} }}[/tex]

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{2(\sqrt {4 - x} - \sqrt {4 - (x + h)} )} \over {h\sqrt {{{(4 - x)}^2} - 4h + hx} }}[/tex]

where to now?
jeg aner fortegnsfeil...

[FLT]

Du finner vel ikke et generelt uttrykk for den deriverte på den måten der. Men hvis du setter inn en verdi for x, kan du finne ut den deriverte i akkurat dette punktet. Jeg så over dine utregninger, personlig fant jeg ingen feil.

[Justin Sane]

det er en oppgave i calculus boka som sier at denne definisjonen skal brukes. Men hver gang røtter kommer inn i bildet går det gærnt på hver eneste oppgave.

er det no mer algebra jeg kan utføre? forhåpentligvis faktoriserer ut h i nevner.

[Andreas345]

Huff altså..blir mye jobb dette her..

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{{2 \over {\sqrt {4 - (x + h)} }} - {2 \over {\sqrt {4 - x} }}} \over h}[/tex]

[tex]={\lim }\limits_{h \to 0} {{{{2\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {4 - (x + h)} } \over {\sqrt {4 - (x + h)} \cdot \sqrt {4 - x} }}} \over h}[/tex]

So far so good.

[tex]=\lim_{h\to 0}\frac {2\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {4 - (x + h)}}{h\cdot (\sqrt {4 - x}\cdot sqrt{4 - (x + h))} [/tex]


Fra her bruker jeg trikset hvor man utvider brøken med den konjugerte av telleren, dvs med [tex]\frac{(2\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4 - (x + h)})}{(2\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4 - (x + h)})}[/tex]

[tex]=\lim_{h\to 0}\frac {2\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {4 - (x + h)}}{h\cdot (\sqrt {4 - x}\cdot sqrt{4 - (x + h)}} \cdot \frac{(2\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4 - (x + h)})}{(2\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4 - (x + h)})}[/tex]

Da blir telleren 4h, gidd ikkje å ta resten i tex siden jeg rimelig lei nå

faktoriserer 2 utenfor i nevneren og står igjen med

[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac {4h}{2h\cdot \left (sqrt {4-x}+\sqrt {4 - (x + h)} \right ) \cdot (\sqrt {4 - x}\cdot sqrt{4 - (x + h)}}[/tex]


[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac {2}{\left (sqrt {4-x}+\sqrt {4 - (x + h)} \right ) \cdot (\sqrt {4 - x}\cdot sqrt{4 - (x + h)}}[/tex]

Setter inn grensen og

[tex]=\ \frac {2}{ \left (sqrt {4-x}+\sqrt {4 - x)} \right ) \cdot (\sqrt {4 - x}\cdot sqrt{4 - x)}}[/tex]

[tex]=\frac {2}{\left (sqrt {4-x}+\sqrt {4 - x)} \right ) \cdot (4-x)}[/tex]

[tex]= \frac {2}{\left (2sqrt {4-x} \right ) \cdot (4-x)}[/tex]

[tex]=\frac {2}{2\left (sqrt {4-x} \right ) \cdot (4-x)}[/tex]

[tex]=\frac {1}{(4-x)^{\frac{1}{2}+1}}[/tex]

[tex]= \frac {1}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}[/tex]

Edit: Tok og løste ut alt. Edit:2-6: Ble litt mye parentes feil

[Justin Sane]

konjugerte var jo helt glemt såklart.

thænx

[tex]{{df} \over {dx}} = {1 \over {\sqrt {{{(4 - x)}^3}} }}[/tex]

[Andreas345]

Hehe Er ikkje greie de oppgavene der, en feil og så går alt til h******.

[Justin Sane]

gleder meg til eksamen allerede

[Markonan]

Stjerne i boken til Andreas345 for heltmodig innsats!

[meCarnival]

Skal ha for den utregninga Andreas =)