Matrise, Egenverdi og Egenvektor HJELP

[Zhai]

I denne oppgaven har vi altså en følgende matrise:

0,5 0,25 0,2
0,45 0,55 0,25
0,05 0,2 0,55

Saken her er at vi har fått oppgitt en egenverdi som er lambda = 1.
I oppgaven står det at denne egenverdien tilhører egenvektoren
v = (1,22 1,72 0,9).

Spørsmålet er da hvordan kan vi vise at egenverdien lambda = 1 tilhører egenvektoren v = (1,22 1,72 0,9) ?
Jeg skjønner at man kan bruke Gauss-Jordan Eliminasjon, men hvordan går jeg frem ved bruk av den metoden. Hvis noen kunne komme med et løsningsforslag så er det fint

[FredrikM]

Def:
[tex]Ax=\lambda x[/tex]

Du har fått vite at lambda=1. Du må altså sjekke at [tex]Ax=x[/tex]. Gang sammen og sjekk om det stemmer. (A er matrisa og x er vektoren)

[Zhai]

Tusen Takk for svar! Dette gjorde alt mye lettere.

Men nå møter jeg et nytt problem i oppgaven som jeg ikke har helt klart å løse. Dette synes jeg ble en ganske vanskelig oppgave, så håper du eller noen andre kan virkelig hjelpe meg

Nå skal jeg altså finne egenvektorene lambda[sub]1[/sub], lambda[sub]2[/sub], lambda[sub]3[/sub], og de tilhørende egenverdiene v[sub]1[/sub],v[sub]2[/sub] og v[sub]3[/sub] til matrisen som jeg nevnte tidligere i forrige post.

Lambda[sub]1[/sub] fikk jeg opplyst i oppgaven at det er 1 så det er ikke noe problem. Så var det å finne de to siste lambdaene som er problemet. Jeg har da brukt denne formelen: det(A - lambda I). A står da for matrisen. Etter en del regning ender jeg da opp med et tredjegrads polynom:

- lambda[sup]3[/sup] + 1,6lambda[sup]2[/sup] - 0,78lambda + 0,14 = 0

Kunne du eller noen andre kontrollere om dette er riktig? Jeg er litt redd for at jeg kanskje har rota litt med utregningen og kanskje har endt opp med feil tall i tredjegrads polynomen.

Hvis jeg har gjort riktig så langt så ville det vært fint om noen kan forklare meg videre hvordan jeg finner egenvektorene som tilhører lambdaene.

[Markonan]

Kjørte litt Matlab for deg.

Den karakteristiske ligningen du har funnt er ikke helt riktig.
Det skal være:

[tex]-\lambda^3 + 1.6\lambda^2 - 0.68\lambda + 0.08= 0[/tex]

Tredjegradsligninger er noe hærk å løse, men du vet allerede at den ene egenverdien er

[tex]\lambda_1 = 1[/tex]

og setter du inn 1 for lambda i tredjegradsligningen, så ser du den er oppfylt.

Da kan du ta tredjegradspolynomet og ta en polynomdivisjon på lambda-1. Da får du et annengradspolynom som svar, og kan finne de to siste egenverdiene med abc-formelen.


Her er det jeg gjorde.

Kode: Velg alt

>> A = [0.5 0.25 0.2; 0.45 0.55 0.25; 0.05 0.2 0.55]

A =

    0.5000    0.2500    0.2000
    0.4500    0.5500    0.2500
    0.0500    0.2000    0.5500

>> syms lambda
>> B = lambda*eye(3)
 
B =
 
[ lambda,      0,      0]
[      0, lambda,      0]
[      0,      0, lambda]
 
 
>> det(A-B)
 
ans =
 
2/25-17/25*lambda+8/5*lambda^2-lambda^3
 

>> 2/25-17/25*(1)+8/5*(1)^2-(1)^3

ans =

     0

 

[Zhai]

Topp! Tusen Takk! Jeg så med en gang hva jeg hadde gjort feil når jeg så ditt løsningsforslag

Men det gjenstår en siste ting, og det er å finne egenvektorene v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub] og v[sub]3[/sub] som tilhører egenverdiene, det synes jeg er den mest vanskelige delen, har nemlig ikke skjønt systemet for hvordan man skal gjøre det.

[Karl_Erik]

Det å si at [tex]\lambda[/tex] er en egenverdi for matrisen [tex]A[/tex] er det samme som å si at det finnes en vektor [tex]x[/tex] slik at [tex]Ax=\lambda x[/tex], eller ekvivalent at [tex](A-\lambda I)x=0[/tex]. Du har nå funnet tre forskjellige egenverdier. Sett hver av dem inn for lambda og løs likningssettet du da får for å finne vektoren [tex]x[/tex]. (Du vil gjerne få flere muligheter for vektor x - velg én av dem.) Da er denne vektoren en vektor som oppfyller kravet [tex]Ax=\lambda x[/tex], så den er en egenvektor tilhørende egenverdien [tex]\lambda[/tex].

[Zhai]

Takk for sist

Jeg har altså fått tre egenverdier:
Lambda[sub]1[/sub] = 1
Lambda[sub]2[/sub] = 0,2
Lambda[sub]3[/sub] = 0,4

Så fulgte jeg instruksjonene som jeg fikk sist. og begynte med å sette inn lambda[sub]1[/sub] = 1 i formelen først. Da fikk jeg et likningssett som ser slik ut:

-0,5x + 0,25y + 0,2z = 0
0,45x - 0,45y + 0,25z = 0
0,05x + 0,2y - 0,45z = 0

Etter hva jeg har skjønt vil jeg kunne få egenvektoren som tilhører lambda[sub]1[/sub] = 1 hvis jeg løser dette likningssettet, right? Men så sliter jeg med å løse dette likningssettet. Jeg får nemlig merkelige tall som ikke helt stemmer. Noen som kan se litt på dette likningssettet for meg?

[hehe2]

Hei

Klarer ikke å se at
(0,5-lambda)(0,55-lambda)(0,55-lamda) = 3 gradlikningen som dere her viser til. Kan noen vise meg hvordan dere får det til?