Kvadrattall og primtall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1686
- Registrert: 03/10-2005 12:09
La [tex]d[/tex] være største felles divisor (SFD) for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]. Da finnes det to naturlige tall [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex] slik at [tex]a = sd[/tex] og [tex]b = td[/tex] der SFD([tex]s,t[/tex]) = 1. Sist nevnte betingelse i kombinasjon med det faktum at [tex]ab[/tex] er et kvadrattall medfører at [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex] må være kvadrattall. Altså er [tex]s = m^2[/tex] og[tex] t = n^2[/tex] for to naturlige tall [tex]m[/tex] og [tex]n.[/tex] Herav følger at
[tex]p = a - b = sd - td = m^2d - n^2d,[/tex]
som resulterer i faktoriseringen
[tex]p = d(m - n)(m + n),[/tex]
Nå er [tex]m + n > 1, [/tex]hvilket innebærer at [tex]m + n = p[/tex] siden [tex]p[/tex] er et gitt primtall. Dette gir igjen at [tex]d = m - n = 1.[/tex] Dermed blir
[tex]2m = (m + n) + (m - n) = p + 1[/tex] og [tex]2n = (m + n) - (m - n) = p - 1.[/tex]
Summa summarum har vi bevist at
[tex]a = \Big( \frac{p+1}{2} \Big)^2 \mbox{ og } b = \Big( \frac{p-1}{2} \Big)^2,[/tex]
der [tex]p[/tex] er et odde primtall.
[tex]p = a - b = sd - td = m^2d - n^2d,[/tex]
som resulterer i faktoriseringen
[tex]p = d(m - n)(m + n),[/tex]
Nå er [tex]m + n > 1, [/tex]hvilket innebærer at [tex]m + n = p[/tex] siden [tex]p[/tex] er et gitt primtall. Dette gir igjen at [tex]d = m - n = 1.[/tex] Dermed blir
[tex]2m = (m + n) + (m - n) = p + 1[/tex] og [tex]2n = (m + n) - (m - n) = p - 1.[/tex]
Summa summarum har vi bevist at
[tex]a = \Big( \frac{p+1}{2} \Big)^2 \mbox{ og } b = \Big( \frac{p-1}{2} \Big)^2,[/tex]
der [tex]p[/tex] er et odde primtall.
Pent. Oppfølger som egentlig er en helt ny oppgave:
Finnes det en sekskant i med gitterpunktshjørner i planet slik at kvadratene av de seks sidene er seks etterfølgende, positive heltall?
(Et gitterpunkt er et punkt med heltallige koordinater.)
Finnes det en sekskant i med gitterpunktshjørner i planet slik at kvadratene av de seks sidene er seks etterfølgende, positive heltall?
(Et gitterpunkt er et punkt med heltallige koordinater.)
Vektoren [tex][a_i,b_i][/tex] for hver side har lengden [tex]\sqrt{a_i^2+b_i^2}[/tex] hvor [tex]a_i,b_i[/tex] er heltall ettersom hjørnene er gitterpunkter.
Kvadratene av lengdene er etterfølgende tall, så om vi lar [tex]a_i^2+b_i^2=c_i[/tex], vil, uten tap av generalitet
[tex]c_1=c_2+1=c_3+2=c_4+3=c_5+4=c_6+5[/tex].
Modulo 4 kan [tex]c_i[/tex] kun være 0,1 og 2.
Dersom [tex]c_1 \equiv 0[/tex], vil [tex]c_2 \equiv 3[/tex], som er umulig.
Om [tex]c_1 \equiv 1[/tex], vil [tex]c_3 \equiv 3[/tex], som også er umulig.
Og til slutt om [tex]c_1 \equiv 2[/tex], vil [tex]c_4 \equiv 3[/tex], umulig.
De heltallige vektorene kan altså ikke eksistere, og dermed kan ikke sekskanten dannes.
Er verdt å nevne at dette betyr at kvadratet til lengdene til 4 sider i en kjede med endepunkter i gitterpunkt ikke kan være påfølgende positive heltall.
EDIT:
... selvfølgelig kan ikke [tex]c_i[/tex] være 2 modulo 4 siden [tex]c_i[/tex] er et kvadrat. Da reduseres beviset å vise motsigelsen når [tex]c_i[/tex] er 0 og 1 modulo 4. Dette betyr at kvadratet til lengdene til 3 sider i en kjede med gitterendepunkter ikke kan være påfølgende positive heltall.
Kvadratene av lengdene er etterfølgende tall, så om vi lar [tex]a_i^2+b_i^2=c_i[/tex], vil, uten tap av generalitet
[tex]c_1=c_2+1=c_3+2=c_4+3=c_5+4=c_6+5[/tex].
Modulo 4 kan [tex]c_i[/tex] kun være 0,1 og 2.
Dersom [tex]c_1 \equiv 0[/tex], vil [tex]c_2 \equiv 3[/tex], som er umulig.
Om [tex]c_1 \equiv 1[/tex], vil [tex]c_3 \equiv 3[/tex], som også er umulig.
Og til slutt om [tex]c_1 \equiv 2[/tex], vil [tex]c_4 \equiv 3[/tex], umulig.
De heltallige vektorene kan altså ikke eksistere, og dermed kan ikke sekskanten dannes.
Er verdt å nevne at dette betyr at kvadratet til lengdene til 4 sider i en kjede med endepunkter i gitterpunkt ikke kan være påfølgende positive heltall.
EDIT:
... selvfølgelig kan ikke [tex]c_i[/tex] være 2 modulo 4 siden [tex]c_i[/tex] er et kvadrat. Da reduseres beviset å vise motsigelsen når [tex]c_i[/tex] er 0 og 1 modulo 4. Dette betyr at kvadratet til lengdene til 3 sider i en kjede med gitterendepunkter ikke kan være påfølgende positive heltall.