Enda mer trigonometri

[Janhaa]

Bevis denne trigonometriske likninga:

[tex]\frac{1}{\cos(0^o)\cos(1^o)}\,+\,\frac{1}{\cos(1^o)\cos(2^o)}\,+\,\frac{1}{\cos(2^o)\cos(3^o)}\,+\,.\,.\,.\,+\,\frac{1}{\cos(88^o)\cos(89^o)}\, =\frac{\cot(1^o)}{\sin(1^o)}[/tex]

[Karl_Erik]

(Gjennom nesten hele løsningen kommer jeg til å sløyfe grader-tegnet (dvs [tex] ^{\circ}[/tex]).)

Lemma 1
[tex]\frac 1 {cos(k) cos(k+1)} = \frac {tan(k+1)-tan(k)} {sin(1)}[/tex]

Bevis: [tex]\frac 1 {sin(1)} (tan(k+1)-tan(k)) = \frac 1 {sin(1)cos(k)cos(k+1)} (sin(k+1)cos(k)-sin(k)cos(k+1)) = \frac 1 {sin(1)cos(k)cos(k+1)} (sin(1)) = \frac 1 {cos(k)cos(k+1)}[/tex]



Så ser vi at venstresiden =

[tex]\sum _{k=0} ^{88} \frac 1 {cos(k) cos(k+1)} = \frac 1 {sin(1)} \sum _{k=0} ^{88} tan(k+1)-tan(k) = \frac 1 {sin(1)} (tan(89)-tan(0)) = \frac {tan(89)} {sin(1)} = \frac {cot(1^{\circ})} {sin(1^{\circ})}[/tex]


(På slutten brukte vi at [tex]tan(x)=cot(90^{\circ}-x)[/tex], som følger av at[tex]sin(x)=cos(90^{\circ}-x)[/tex] og [tex]cos(x)=sin(90^{\circ}-x)[/tex].

EDIT: Forøvrig tør jeg gjette på at dette generaliserer fint (dvs at summen kan starte på andre vinkler og ha en annen 'økning').

[Janhaa]

Fin løsning vha enkle trigonometriske identiteter og teleskoperende rekke.