Flere differensialligninger

[espen180]

Noen å knaske på, i økende grad:

1.
[tex]y^\prime\cdot y=\sqrt{x}[/tex]

2.
[tex]y^{\prime\prime}=y^\prime\cdot y[/tex]

3.
[tex]y^{\prime\prime\prime}=y-x[/tex]

[Charlatan]

Kan ta den siste.

[tex]y^{\prime \prime \prime}=y-x[/tex]
[tex]u:=y-x \Rightarrow u^{\prime \prime \prime}=u[/tex]
[tex]t:=u^{\prime \prime}+u^{\prime}+u \Rightarrow[/tex] [tex]t^{\prime}=u^{\prime \prime \prime}+u^{\prime \prime}+u^{\prime} \Rightarrow t^{\prime}-t=u^{\prime \prime \prime}-u=0 \Rightarrow t=Ae^x[/tex]

Vi har at
[tex]u^{\prime \prime}+u^{\prime}+u=Ae^x[/tex]. La w være en konstant slik at [tex]w^2-w+1=0[/tex]:
[tex]r:=u^{\prime}+wu \\ u^{\prime \prime}=r^{\prime}-w(r-wu) \\ u^{\prime}=r-wu \\ u^{\prime \prime}+u^{\prime}+u=r^{\prime}-w(r-wu)+r-wu+u=r^{\prime}+(1-w)r+(w^2-w+1)u=r^{\prime}+(1-w)r=Ae^x[/tex].

[tex]r=\frac{A}{2-w}e^x+Ce^{(w-1)x}=Be^x+Ce^{(w-1)x}[/tex]

Vi har at

[tex]u^{\prime}+wu=Be^x+Ce^{(w-1)x} \Rightarrow u=\frac{B}{1+w}e^x+\frac{C}{2w-1}e^{(w-1))x}+De^{-wx} \\ =Fe^x+Ge^{(w-1)x}+De^{-wx} \Rightarrow y=Fe^x+Ge^{(w-1)x}+De^{-wx}+x[/tex]

for konstanter F,G og D.

For å verifisere:

[tex]y^{\prime \prime \prime}+x=Fe^x+G(w-1)^3e^{(w-1)x}+D(-w^3)e^{-wx}+x[/tex]

Vi må bare vise at [tex](1-w)^3=1[/tex], og at [tex]-w^3=1[/tex]. Men

[tex]-w^3=1 \Leftrightarrow (1+w)(w^2-w+1)=0[/tex] som er sant.

Altså er også [tex](w-1)^3=(w^2)^3=(-w^3)^2=1[/tex].

[espen180]

Flott!
Nummer 3 har kanskje flere løsninger. Fasitsvaret mitt inneholder sinus og sosinusfunksjoner.

[FredrikM]

Tar den første. (lenge siden jeg har rørt en difflikning nå!)

Anyways: den var grei.

[tex]y^,y=\sqrt{x}[/tex]

Integrerer mhp x på begge sider:

[tex]\int yy^, dx=\int \sqrt{x} dx \\ \int y dy = \frac 23 x^{\frac 32}+C \\ \frac 12 y^2=\frac 23 x^{\frac 32} \\ y = \pm \sqrt{\frac 43 x^{\frac 32} +D }[/tex]
For alle mulige konstanter D.

Løst den andre også, men begrenser meg til foreløpig å poste løsningen til en - la andre slippe til.

[Janhaa]

Noen å knaske på, i økende grad:
2.
[tex]y^{\prime\prime}=y^\prime\cdot y[/tex]

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=21639

[Charlatan]

Flott!
Nummer 3 har kanskje flere løsninger. Fasitsvaret mitt inneholder sinus og sosinusfunksjoner.

Løsningen er unik. Sinus og cosinusformlene kommer inn når du utvider de komplekse eksponentene.