Brøk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi viser først at dersom [tex](n,m)=(a,b)[/tex] er en løsning er [tex](n,m)=(b,a)[/tex] også det. Dette følger av at [tex]n^3+1 \equiv 0 \Longleftrightarrow n^3+nm \equiv 0 \Longleftrightarrow n^2+m \equiv 0 \Longleftrightarrow n^2 m+m^2-n^2m+n \equiv 0 \Longleftrightarrow m^2+n \equiv 0\Longleftrightarrow m^3+1 \equiv 0[/tex] der alle kongruenser oppfattes [tex](mod (nm-1))[/tex]. Av dette ser vi at om [tex]nm-1|n^3+1[/tex] har vi også [tex]nm-1|m^3+1[/tex], så [tex]\frac {m^3+1} {nm-1}[/tex] er et heltall, og derfor har vi at vi kan 'speilvende' en løsning, som var det vi ville vise.
Altså kan vi av symmetri anta [tex] n \geq m[/tex]. For å kunne slå i bordet med en strengt ulikhet tar vi først tilfellet [tex]n=m[/tex], som gir [tex]\frac {n^3+1} {n^2-1} \in \mathbb{N}[/tex], eller [tex]\frac {n^3+1} {n^2-1} = \frac {n^2-n+1} {n-1} = n+ \frac 1 {n-1} \in \mathbb{N}[/tex], som opplagt bare er mulig dersom [tex]n=2[/tex], dvs [tex](n,m)=(2,2)[/tex].
For å finne de resterende løsningene antar vi av symmetri [tex]n>m[/tex]. Vi setter så [tex]\frac {m^3+1} {nm-1} = K[/tex], eller [tex]m^3+1=K(nm-1)[/tex]. Da har vi [tex]K=\frac {m^3+1} {nm-1} < \frac {m^3+1} {m^2-1} = m + \frac {m+1} {m^2-1} = m + \frac 1 {m-1}[/tex] Betrakter vi likningen [tex]m^3+1=K(nm-1)[/tex] mod m ser vi at [tex]-K \equiv 1 (mod m)[/tex], dvs [tex]K=mk-1[/tex]. Innsatt i ulikheten vi nettopp viste gir dette [tex] mk-1 < m + \frac 1 {m-1} \Longleftrightarrow m(k-1)<\frac m {m-1} [/tex] Siden [tex] m, k \in \mathbb{N}[/tex] betyr dette at [tex]m(k-1) \leq 2[/tex] som gir tre muligheter: [tex]m(k-1)=2[/tex], [tex]m(k-1)=1[/tex] eller [tex]m(k-1)=0[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=0[/tex] gir oss umiddelbart at [tex]k=1[/tex], da [tex]m[/tex] er et positivt heltall. Da er [tex]K=mk-1=m-1[/tex], så [tex]\frac {m^3+1} {nm-1} =m-1 \Longleftrightarrow m^3+1=(nm-1)(m-1) \Longleftrightarrow \frac {m^2+1} {m-1} =n \Longleftrightarrow m+1 \frac {2} {m-1} =n [/tex], som betyr at [tex]\frac 2 {m-1}[/tex] er et heltall, så [tex]m=2[/tex] eller [tex]m=3[/tex], som i begge tilfeller gir [tex]n=5[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=1[/tex] gir [tex]m=1, k=2[/tex], så [tex]2=k(n-1)[/tex], dvs [tex]n=2[/tex] eller [tex]n=3[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=2[/tex] gir oss enten [tex]m=1, k=3[/tex] eller [tex]m=2, k=2[/tex]. [tex]m=1[/tex] så vi på i forrige tilfelle, og [tex]m=2[/tex] så vi på i tilfellet før der igjen.
Altså har vi at [tex](n,m) \in \left { (1,2), (2,1), (2,2), (1,3), (3,1), (2,5), (3,5), (5,2), (5,3) \right }[/tex].
Altså kan vi av symmetri anta [tex] n \geq m[/tex]. For å kunne slå i bordet med en strengt ulikhet tar vi først tilfellet [tex]n=m[/tex], som gir [tex]\frac {n^3+1} {n^2-1} \in \mathbb{N}[/tex], eller [tex]\frac {n^3+1} {n^2-1} = \frac {n^2-n+1} {n-1} = n+ \frac 1 {n-1} \in \mathbb{N}[/tex], som opplagt bare er mulig dersom [tex]n=2[/tex], dvs [tex](n,m)=(2,2)[/tex].
For å finne de resterende løsningene antar vi av symmetri [tex]n>m[/tex]. Vi setter så [tex]\frac {m^3+1} {nm-1} = K[/tex], eller [tex]m^3+1=K(nm-1)[/tex]. Da har vi [tex]K=\frac {m^3+1} {nm-1} < \frac {m^3+1} {m^2-1} = m + \frac {m+1} {m^2-1} = m + \frac 1 {m-1}[/tex] Betrakter vi likningen [tex]m^3+1=K(nm-1)[/tex] mod m ser vi at [tex]-K \equiv 1 (mod m)[/tex], dvs [tex]K=mk-1[/tex]. Innsatt i ulikheten vi nettopp viste gir dette [tex] mk-1 < m + \frac 1 {m-1} \Longleftrightarrow m(k-1)<\frac m {m-1} [/tex] Siden [tex] m, k \in \mathbb{N}[/tex] betyr dette at [tex]m(k-1) \leq 2[/tex] som gir tre muligheter: [tex]m(k-1)=2[/tex], [tex]m(k-1)=1[/tex] eller [tex]m(k-1)=0[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=0[/tex] gir oss umiddelbart at [tex]k=1[/tex], da [tex]m[/tex] er et positivt heltall. Da er [tex]K=mk-1=m-1[/tex], så [tex]\frac {m^3+1} {nm-1} =m-1 \Longleftrightarrow m^3+1=(nm-1)(m-1) \Longleftrightarrow \frac {m^2+1} {m-1} =n \Longleftrightarrow m+1 \frac {2} {m-1} =n [/tex], som betyr at [tex]\frac 2 {m-1}[/tex] er et heltall, så [tex]m=2[/tex] eller [tex]m=3[/tex], som i begge tilfeller gir [tex]n=5[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=1[/tex] gir [tex]m=1, k=2[/tex], så [tex]2=k(n-1)[/tex], dvs [tex]n=2[/tex] eller [tex]n=3[/tex].
Tilfellet [tex]m(k-1)=2[/tex] gir oss enten [tex]m=1, k=3[/tex] eller [tex]m=2, k=2[/tex]. [tex]m=1[/tex] så vi på i forrige tilfelle, og [tex]m=2[/tex] så vi på i tilfellet før der igjen.
Altså har vi at [tex](n,m) \in \left { (1,2), (2,1), (2,2), (1,3), (3,1), (2,5), (3,5), (5,2), (5,3) \right }[/tex].