Volum av kule

[FredrikM]

En grunn til at man ikke bruker [tex]\chi[/tex] er nok at den er så fryktelig lik [tex]x \approx \chi[/tex]. Hm. Kanskje ikke i LaTeX, ser jeg, men når man skriver for hånd er de fryktelig like.

[Gommle]

Hvis du tar en titt i Sinus R1-boka tror jeg det står et fint bevis for formelen for volum av en kule. Ved hjelp av enkeltintegraler/omdreining.

[Gustav]

La [tex]V_r=[/tex] volum av kule med radius [tex]r[/tex].

[tex]V_r=\int_{-r}^r \pi y^2 \,dx[/tex]

Ligning for sirkel med radius [tex]r[/tex] er [tex]x^2+y^2=r^2[/tex].

[tex]\Rightarrow V_r=\int_{-r}^r \pi (r^2-x^2) \,dx=\pi [xr^2-\frac{1}{3}x^3]_{-r}^r=\pi(r^3-\frac{1}{3}r^3+r^3-\frac{1}{3}r^3)=\frac{4\pi}{3}r^3[/tex]

[Gauteamus]

Sjelden man bruke det gyldne snitt, men vinkler går det mye av.

I kalkulus brukes vanligvis [tex]\theta[/tex] som vinkelen i polarkoordinater og sylinderkoordinater. I kulekoordinater trengs enda en vinkel, og mange bruker [tex]\phi[/tex] som vinkelen mot z-aksen. [tex]\theta[/tex] brukes der om vinkelen mot x-aksen.

Man kan spørre seg hvorfor dette er blitt konvensjon. Logisk sett ville det vært naturlig å bruke [tex]\chi [/tex], [tex]\psi[/tex] og [tex]\omega[/tex] som henholdsvis vinkler med x- , y- og z-aksen siden disse er de tre siste bokstavene i det greske alfabetet og sammenfaller således med x,y,z.

Min noe vimsete forklaring på hvorfor akkurat [tex]\theta[/tex] og [tex]\phi[/tex] ble "valgt" av tradisjonen som naturlige greske bokstaver for å beskrive vinkler i et koordinatsystem (i motsetning til vinklene i en mangekant, som vi jo oftere betegner med [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] osv, dersom vi vil velge noe gresk):

Theta og Phi velges fordi de visuelt viser hen til bildet av "enhetssirkel/-kule med radius vektor" som jo ofte dukker opp når man arbeider i sirkel(polar)-, sylinder- eller kulekoordinater eller med komplekse tall og liknende.