Grense

[Gustav]

Vis eller motbevis eksistensen av følgende grense:

[tex]\lim_{(x,y)\to (0,0)}\,\,\,\frac{\cos x-1-0.5x^2}{x^4+y^4}[/tex]

[FredrikM]

Ble nødt til å søke litt på nett om akkurat dette, for jeg har aldri jobbet med grenser med to variable før. http://www.sinclair.edu/centers/mathlab ... iables.pdf

Lar vi y=0, får vi:
[tex]\lim_{x\to 0} \frac{\cos x -1-0.5x^2}{x^4}=-\infty[/tex] (siden x^4 øker fryktelig raskt)

Setter vi x=0, får vi:
[tex]\lim_{y\to 0}=-\infty[/tex]

La oss nå sette y=f(x), hvor f(0)=0 og f er kontinuerlig. (slik at vi kan gå mot (0,0) i en eller annen vilkårlig bane)

[tex]\lim_{(x,f(x))\to (0,0)} \frac{\cos x -1 -0.5x^2}{x^4+f^4(x)}[/tex]

Siden både teller og nevner går mot null, og dette er en funksjon av én variabel, kan vi bruke L'Hôpital:

[tex]=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x-x}{4x^3+4f^\prime(x)f^3(x)}[/tex]

Vi kan igjen bruke L'Hopital:

[tex]=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x-1}{12x^2+12(f^\prime(x))^2f^2(x)}[/tex]

Det burde være klart at også denne grensen går mot [tex]-\infty[/tex], og derfor eksisterer grensen. (grensen er altså ikke avhengig av f(x)).

- - -

Nå skal det sies at jeg aldri har gjort dette før, så det kan godt hende at jeg bare har skrevet bullshit. Tilbakemelding uansett svar ville vært hyggelig.

[Gustav]

Vil ikke

[tex]\lim_{y\to 0}\frac{0}{0+y^4}=0[/tex] da?

[Charlatan]

Jepp, hvis [tex]y=x(1-x^3)[/tex] får vi at grensen blir [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{x}-0.5x=0[/tex].

[FredrikM]

Da har jeg lært en lekse, ihvertfall. Ikke gjøre ting altfor raskt.