matrise

[Gjest]

Noen som kan forklare meg hvordan jeg finner den inverse til en matrise ?

[Toppris]

Hvilke matriser skal du finne inversen til?
Skal det være en generell fremgangsmåte, eller er det snakk om kvadratiske matriser?

[mathvrak]

Invertere en 2x2 matrise:

Kode: Velg alt

[ a b ]-1      1     [ d  -b ]
[     ]    = -----   [       ]
[ c d ]      ad-bc   [ -c  a ] 

Du kan også sette matrisen din inn sammen
med identitets matrisen I slik

[ A | I ]

så gjør operasjoner på linjene slik at du ender
opp med I matrisen på venstre side. Så leser du av
A invers på høyre side.

[ I | A[sup]-1[/sup] ]

Ellers har du kofaktor-metoden.

Mvh,
MV

[Gjest]

Hvis man ganger en matrise med sin inverse skal man altså få identitetsmatrisen ?

Hva blir den inverse til denne matrisen ?

[ 0 1 1 ]
[ 1 1 0 ]
[ 1 0 1 ]

[mathvrak]

Hvis A er en invertibel matrise:
AA[sup]-1[/sup] = I ja. Og pga regelen AB = BA hvis AB=BA=I,
det betyr at også A[sup]-1[/sup] * A = I . (rekkefølgen av matrisene
noen ganger viktig altså..)

Kode: Velg alt

    [ 0 1 1 ] 
A = [ 1 1 0 ] 
    [ 1 0 1 ]


[           ]   [ 0 1 1 | 1 0 0 ]
[  A  |  I  ] = [ 1 1 0 | 0 1 0 ]
[           ]   [ 1 0 1 | 0 0 1 ]

L1<->L3 (bytter plass for å få nuller nederst til venstre)

  [ 1 0 1 | 0 0 1 ]
~ [ 1 1 0 | 0 1 0 ]
  [ 0 1 1 | 1 0 0 ]

L2 <- L1 - L2 (ønsker nuller til venstre i midten)

  [ 1  0 1 | 0  0 1 ]
~ [ 0 -1 1 | 0 -1 1 ]
  [ 0  1 1 | 1  0 0 ]

L3 <- L2+L3

  [ 1  0 1 | 0  0 1 ]
~ [ 0 -1 1 | 0 -1 1 ]
  [ 0  0 2 | 1 -1 1 ]

L3 <- L3 / 2, og
L2 <- -L2

  [ 1 0  1 | 0      0    1 ]
~ [ 0 1 -1 | 0      1   -1 ]
  [ 0 0  1 | 1/2 -1/2  1/2 ]

Så er det bare å bruke L3 for å lage "I"

L2 <- L2 + L3
L1 <- L1 - L3

  [ 1 0 0 | -1/2  1/2  1/2 ]
~ [ 0 1 0 |  1/2  1/2 -1/2 ]
  [ 0 0 1 |  1/2 -1/2  1/2 ]

Har nå kommet frem til [ I | A^(-1) ]

Så invers matrisen er forhåpentligvis

           [ -1/2  1/2  1/2 ]    1  [ -1  1  1 ]
invers A = [  1/2  1/2 -1/2 ] = --- [  1  1 -1 ]
           [  1/2 -1/2  1/2 ]    2  [  1 -1  1 ]

Så kan du jo gange sammen A og invers A og se
at du får I. (tips, sett 1/2 utenfor når du matrisemultipliserer)

men nå er det "Robin Hood - helter i strømpebukser" på TV3, og den er hysterisk morsom. ".. Unlike som other robbin hoods, i can speek with an english accent" .. Hehe. Hvis du vil ha kofaktor matrisen bare si fra.

[Gjest]

Du har bare jobbet deg fram til identitetsmatrisen, du har ikke brukt en bestemt fremgangsmåte ?

[mathvrak]

Riktig. Gjort Rad operasjoner til jeg får I på venstre side.
Jeg gauss-jordan eliminerte. Gjorde først om til nedre triangulær (gauss eliminasjon) så det samme med det øvre triangelet (gauss-jordan). Da sitter du igjen med diagonal matrise (identitets matrisen).

Sorry, jeg mente "hvis du vil ha invertering etter kofaktor metoden , bare si ifra".

[Gjest]

Takk for hjelpen!