Ligninger

[Markonan]

Hentet fra en eksamen fra Cambridge.

Finn alle verdier av a, b, x og y som oppfyller:
[tex]a + b = 1[/tex]

[tex]ax + by = \frac{1}{3}[/tex]

[tex]ax^2 + by^2 = \frac{1}{5}[/tex]

[tex]ax^3 + by^3 = \frac{1}{7}[/tex]

Hint:
Multipliser begge sider av ligning 2 med (x+y).

[espen180]

Skal alle likhetene oppfylles samtidig?

[Markonan]

Ja. Det burde jeg kanskje ha nevnt. Som det står i oppgaveteksten:

Find all values of a, b, x and y that satisfy the simultaneous equations.

[Gustav]

[tex](ax+by)(x+y)=ax^2+xy+by^2=\frac{1}{5}+xy=\frac{1}{3}(x+y)[/tex]

[tex](ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^3+ax^2y+by^2x=\frac{1}{7}+xy(ax+by)=\frac{1}{7}+\frac{1}{3}xy=\frac{1}{5}(x+y)[/tex]

[Markonan]

Riktig begynnelse.

Men nå kommer det en litt fin observasjon jeg er rimelig sikker på at jeg hadde oversett selv.

[96xy]

Får at variablane er ;
[tex] \ x = \frac{15-2sqrt{30}}{35} [/tex]

[tex] \ y = \frac{15+2sqrt{30}}{35} [/tex]

[tex] \ a = \frac{18 +sqrt{30}}{36} [/tex]

[tex] \ b = \frac{18 - sqrt{30}}{36} [/tex]

stemmer dette ?

[Markonan]

Jepp, det er helt riktig! Kanskje du vil dele fremgangsmåten din med oss?

[96xy]

Isolerte xy og sette dette inn i likning to ;

[tex] \ xy = \frac{1}{3}(x+y) - \frac{1}{5} [/tex]

[tex] \ \frac{1}{7} + \frac{1}{3}((\frac{1}{3}(x+y) - \frac{1}{5})) = \frac{1}{5}(x+y) [/tex]

Resten er samantrekking og så å putta inn i uttrykk for å finna x, a og b.
Slik gjorde eg det, finst sikkert lettare måtar:)

[Gustav]

Riktig begynnelse.

Men nå kommer det en litt fin observasjon jeg er rimelig sikker på at jeg hadde oversett selv.

La

[tex]x+y=u\\ xy=v\\ x-y=w[/tex].

Da er [tex]w^2=u^2-4v[/tex] så

[tex]w=\pm\sqrt{u^2-4v}[/tex] og da er [tex]\frac{1}{2}(u+w)=x[/tex] og [tex]\frac{1}{2}(u-w)=y[/tex]

[Markonan]

Exactly!

Men vet ikke hvor mye arbeid det faktisk sparer deg for. Regnet ikke gjennom oppgaven, og bare antok det var mye mer arbeid å ta den gode, gamle måten.

Nice avatar forresten!