diagonalisering fra a-å

[ingunn4]

Det berømte jernteppet har senket seg, jeg har et pkt igjen på listen min:
Diagonalisering

Har søkt i sidene her men er fremdeles usikker på hva jeg holder på med.

Kan finne egenverdier og egenvektorene, men så er det helt stopp.
Vet at diagonalisering brukes til beregning av potenser av kvadratiske matriser, men hva kan sensor spør om og hva skal jeg kunne om dette?

[Markonan]

Et naturlig spørsmål er vel hva diagonalisering gjør, som du er inne på i innlegget ditt. Ville lagt til at det sparer oss for masse regning.

Du bør vite hva kravet er for at en matrise A skal være diagonaliserbar.

Du må kunne få [tex]A[/tex] over på formen [tex]PDP^{-1}[/tex].

I tillegg bør du kunne avgjøre om en matrise P er inverterbar og hvordan du inverterer den. Fint å sjekke underveis for å finne ut om du regner riktig.

[ingunn4]

P er invertibel dersom det [symbol:ikke_lik] 0

Utregning av invers av A ved å ha elementærmatrisen på høyre side og v h a rekke el søyle-operasjoner endre slik at v side blir elementær matrise og høyre side blir da inversen A-1 til A

AA-1=I

...................og så kan je itte mer................

[Markonan]

Aha, men du sa jo at du kunne finne egenverdien og egenvektorene... og det er jo egentlig det helt sentrale med diagonalisering.

Finn f.eks egenverdiene og egenvektorene til følgende matrise.

[tex]A = \large\left[\begin{matrix}7&2\\-4&1 \end{matrix}\right][/tex]

[meCarnival]

Diagonalisering brukes også for å finne matriser som er opphøyd i høyere eksponenter... f.eks [tex]A^M[/tex] er jo et fint eksempel... Kan bruke matrisen over til Markonan...

[ingunn4]

lamda2- 8 lamnda + 15

løses ved abc formel - og så får jeg verdiene

??????????

[meCarnival]

[tex]\lambda_1 = 3[/tex]

[tex]\lambda_2 = 5[/tex]

[ingunn4]

jeg har -3 og -5

[meCarnival]

[tex]\lambda = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

[tex]\lambda = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}[/tex]

[tex]\lambda = \frac{8\pm \sqrt{64-60}}{2}[/tex]

[tex]\lambda = \frac{8\pm \sqrt{4}}{2}[/tex]

[tex]\lambda = \frac{8\pm 2}{2}[/tex]

[tex]\lambda_1 = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3[/tex]

[tex]\lambda_2 = \frac{8+2}{2} = \frac{10}{2} = 5[/tex]

[Markonan]

Edit: meCarnival tok den ja. Sånn går det når du ikke oppdaterer vinduet!

Du regnet ut determinanten riktig.

[tex]\lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0[/tex]

[tex]\frac{8\pm\sqrt{64-4(15)}}{2} \,=\, \frac{8\pm2}{2} \,\Rightarrow\, \left\{\lambda_1 = 5\\ \lambda_2 = 3[/tex]

Merk at
[tex](\lambda - 5)(\lambda - 3) = \lambda^2 - 8\lambda + 15[/tex]
men røttene er positive.

Egenverdiene er de som plasseres i D!

[tex]D = \large\left[\begin{matrix}5&0\\0&3\end{matrix}\right][/tex]

For å finne P (og P^-1) finner du nå egenvektorene til matrisen.

[ingunn4]

me kan ikjje verra go' andre sover på denne tiden.

Jeg gir meg la oss si 3 og 5 da, men hva var det jeg skulle med de?

tror jeg tipper over nå.....

snart på jobb så nå har jeg bare få timer igjen på å komme i land med dette. takk for laget så langt folkens - koselig med matte på en 17.mai

[Gustav]

- koselig med matte på en 17.mai

Matematikk er alltid koselig:)

[meCarnival]

Grunnen for at du får feil verdier er siden du setter inn kun 8! og ikke -8... Du må huske og ha med fortegnene når du setter inn i ABC-formelen!

[ingunn4]

"Egenverdiene er de som plasseres i D!



For å finne P (og P^-1) finner du nå egenvektorene til matrisen."

Jeg er helt tom, kan du gidde å gjøre den helt ferdig så skal jeg sende bare gode tanker til alle på mat.net

[Markonan]

Ålreit.

En egenvektor er en vektor x slik at Ax = [tex]\small\lambda[/tex]x, der [tex]\small\lambda[/tex] er en egenverdi.

Først for [tex]\small\lambda_1[/tex] = 5.

[tex]Ax = 5x[/tex]

[tex]Ax - 5x = 0[/tex]

[tex](A-5I)x = 0[/tex]

Finner A-5I:
[tex]\large\left[\begin{matrix}(7-5)&2\\-4&(1-5) \end{matrix}\right] = \large\left[\begin{matrix}2&2\\-4&-4 \end{matrix}\right][/tex]

For å finne (A-5I)x = 0, kan vi løse det som et ligningssystem, eller ved radredusering.
[tex]\large\left[\begin{matrix}2&2&0\\-4&-4&0 \end{matrix}\right] \,\sim\, \large\left[\begin{matrix}1&1&0\\0&0&0 \end{matrix}\right][/tex]

Du har vært borti dette før, ikke sant? Fra dette ser vi at den første egenvektoren er:
v[sub]1[/sub] = [tex]\large\left[\begin{matrix}1\\-1 \end{matrix}\right][/tex]


For [tex]\small\lambda_2[/tex] = 2, har vi samme fremgangsmåte og finner den andre egenvektoren.
v[sub]2[/sub] = [tex]\large\left[\begin{matrix}1\\-2 \end{matrix}\right][/tex]

Da kan vi lage matrisen P, som er slik:
P = [v[sub]1[/sub] v[sub]2[/sub]] = [tex]\large\left[\begin{matrix}1&1\\-1&-2 \end{matrix}\right][/tex]

Til slutt inverterer vi P, og får:
P[sup]-1[/sup] = [tex]\large\left[\begin{matrix}2&1\\-1&-1 \end{matrix}\right][/tex]

Vi er ferdig med diagonaliseringen! A = PDP[sup]-1[/sup].

Det betyr at
A*A = (PDP[sup]-1[/sup])(PDP[sup]-1[/sup]) = PDP[sup]-1[/sup]PDP[sup]-1[/sup]

og siden en matrise ganget med sin egen invers er identitetsmatrisen I:
A*A = PDIDP[sup]-1[/sup] = PD[sup]2[/sup]P[sup]-1[/sup]

og generelt er A[sup]n[/sup] = PD[sup]n[/sup]P[sup]-1[/sup]. Noe som sparer oss for masse regnearbeid når vi f.eks skal finne A[sup]5[/sup].