kombinatorikk

[elisa652000]

Oppgave: Vi har 6 bøker av forfatter A og 2 av forfatter B. Vi skal låne bøker av begge forfatterne. Hvor mange ulike lån kan vi gjøre?

Er det noen som kan hjelpe meg med hint om hvordan denne skal løses?
mvh elisabeth

[Realist1]

Hva med totalt antall mulige lån, minus "ugyldige" lån, altså mulige lån der vi bare låner fra én forfatter?

[elisa652000]

altså 8! minus 6! minus 2! ????? Det stemmer ikke, svaret skal bli 189 lån

[elisa652000]

hjelp?

[Realist1]

Hvis du har 8 bøker, så går det totalt an å gjøre:
[tex]{8 \choose 1} + {8 \choose 2} + {8 \choose 3} + {8 \choose 4} + {8 \choose 5} + {8 \choose 6} + {8 \choose 7} + {8 \choose 8} = 8+28+56+70+56+28+8+1 = 255[/tex]

Altså er det totalt mulig å gjøre 255 forskjellige lån. Nå kan vi stryke 8C1=8 med en gang, ettersom vi må låne minst to bøker for å låne av begge forfatterne. Ergo har vi at totalt antall lån er 247.

Klarer du å finne de ugyldige lånene selv?

[elisa652000]

Ja!!!! tusen takk!!! så her er det bare kombinasjoner som er viktig, ikke rekkefølgen? blir også forvirret av når man kan addere sammen noe, som her, og når man skal bruke multiplikasjonsprinsippet. finnes det noen lettfattelige " kjøreregler"?

[Tore Tangens]

Prøver meg... trenger repetisjon!

Antall ugyldige lån
[tex]{6 \choose 2} + {6 \choose 3} + {6 \choose 4} + {6 \choose 5} + {6 \choose 6} + {2 \choose 2} = 58 [/tex]

247-58 = 189

ulpegulp?

[elisa652000]

håper det du gjorde var rett, for det var sånn jeg gjorde også:-) svaret ble jo riktig!

[mrcreosote]

Her er et hint til en annen og raskere måte å gjøre det på: [tex](2^6-1)\cdot(2^2-1)=189[/tex]. Prøv å forklare hvorfor dette regnestykket gir riktig svar!

[elisa652000]

2[sup]6[/sup] - 1 må jo være et uttrykk for bøkene til forfatter A, og 2[sup]2 - 1 er uttrykk for bøkene til forfatter B. deretter har du brukt multiplikasjonsprinsippet for valgmuligheter. ???
men hvorfor blir det i så fall minus 1? burde det ikke blitt minus 2 i den første parentesen, siden bøkene i A er 2x2x2x2x2x2?[/sup]

[elisa652000]

Nei, jeg får overlate dette til noen som forstår, for meg blir det visst vill gjetting. skal på nattevakt, tusen takk for hjelpen så langt!
mvh elisabeth

[mrcreosote]

Du er absolutt inne på noe. Den første boka til forfatter A kan vi enten låne eller ikke låne, til sammen 2 muligheter. Den andre boka kan vi også låne eller ikke låne, så multiplikasjonsprinsippet gir at vi har 2*2=4 muligheter for hvordan vi låner de 2 første bøkene til A. (List de for deg sjøl om du er usikker: LL, LU, UL, UU.) Forsetter vi, ser vi at det er 2^6=64 måter å låne A sine bøker på, men den ene som innebærer å ikke låne noen av A sine bøker er ubrukelig, altså har vi 2^6-1=63 muligheter for åssen vi kan låne minst ei bok av A.

På samme måte har vi 3 måter å låne minst ei bok av B, og multiplikasjonsprinsippet gir igjen 63*3=189 måter å låne minst 1 bok av hver forfatter på.

[elisa652000]

hmmmm. jeg skjønte hva du mente tror jeg. men synes det å lage liste er vanskelig. blir mulighetene for 3 bøker slik: LLL, LLU, LUL, LUU, ULL, ULU, UUL, UUU. og tilsvarende vil vi få en sammensetning for alle 6 bøkene som da heter UUUUUU? og det er denne som faller bort, slik at vi trekker bort 1?

da må det for B bli mulighetene LL, LU, UL og UU, og her faller UU bort slik at det blir minus 1?
vi subtraherer med 1 fordi det står i teksten at begge forfatternes bøker skal være med, og da kan ikke UU-alternativene telle ,siden det betyr at vi ikke låner noen bok.
har jeg forstått det rett?

[2357]

Det har du.

[elisa652000]

tusen takk for tålmodigheten! utrolig hvor mange enkle poeng som går en hus forbi når man skal studere på egen hånd.
Setter stor pris på engasjementet!
mvh elisabeth