derivasjon

[Betelgeuse]

En funksjon [symbol:funksjon] er gitt ved [symbol:funksjon] (x)=1/x

Vis at [symbol:funksjon]´(x[sub]0[/sub])=-1/x[sub]0[/sub][sup]2[/sup] med definisjonen av den deriverte.

Jeg prøver å få til dette men klarer ikke å komme rundt polynomdivisjon med negative eksponenter

Hvordan regner man ut og hva blir (x[sup]-1[/sup]-x[sub]0[/sub][sup]-1[/sup])/(x-x[sub]0[/sub])?

[meCarnival]

[tex]\frac{x^{-1}-x_0^{-1}}{x-x_0}=[/tex]

[tex]\frac{x^{-1}}{x-x_0}-\frac{x_0^{-1}}{x-x_0}=[/tex]

[tex]\frac{1}{x(x-x_0)}-\frac{1}{x_0(x-x_0)}=[/tex]

[tex]\frac{x_0(x-x_0)-x(x-x_0)}{x(x-x_0)\cdot x_0(x-x_0)}=[/tex]

[tex]\frac{-x^2+2xx_0-x_0^2}{x^3x_0-2x^2x_0^2+xx_0^3}=[/tex]

[tex]\frac{-(x-x_0)^2}{x \cdot x_0(x-x_0)^2}=[/tex]

[tex]\frac{-1}{x \cdot x_0}[/tex]

[Dinithion]

Nå har ikke prøvd på dette, men jeg ser du spør hvordan man regner ut [tex]\frac{x^{-1}-x_0^{-1}}{x-x_0}[/tex]

og lurte da på om du hadde regnet deg fram til dette, eller om du hadde brukt definisjonen og "jukset" litt. Man kan ikke uten videre si at:

[tex](a+b)^n = a^n+b^n[/tex]

[Betelgeuse]

Takker og bukker for svar

Kom frem til det ved definisjonen av den deriverte

[tex]f(x)=\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]

[Dinithion]

Ok. Det forklarer saken. Jeg er vandt til å bruke

[tex]f^,(x) = \lim_{h\right 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

Jeg prøvde å bruke den definisjonen, men ved å bruke den kom jeg ikke i mål. Noen andre som klarer å komme fram til noe ved å bruke den andre defenisjonen?

Edit:
Eureka! Løsning under.

[Dinithion]

Det var jo igrunn veldig enkelt.

[tex]\lim_{h \right 0} \, \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ =\lim_{h \right 0} \, \frac{1}{h(x+h)}-\frac{1}{hx} \\ =\lim_{h \right 0} \, \frac{x}{hx(x+h)}-\frac{x+h}{hx(x+h)} \\ =\lim_{h \right 0} \, -\frac{h}{hx(x+h)} = \lim_{h \right 0} \, -\frac{1}{x(x+h)} = - \frac{1}{x^2}[/tex]