Terminprøve Matte X (3-timersprøve)

[Realist1]

Hadde denne i dag. Det er ikke en tentamen, men en tretimersprøve som omfatter kapittel 1, 5 og 6 i Sinus X-boka. Hjelpemidler er kalkulator og en kopi av normalfordelingstabellen, ingenting mer.

I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1

a) Avgjør hvilke av tallene 31, 572, 32465 og 573 som er primtall.

b) Bestem primtallsfaktoriseringen av 84 og 90.

c) Bestem sfd(84, 90) og mfm(84, 90).

d) Vis at sfd(168, 104) = 8, ved å bruke Euklids algoritme. Bestem så mfm(168, 104).

e) Løs den diofantiske likningen 8x+75y=1200 ved regning.


Oppgave 2
Line har tatt seg en ekstra jobb, og selger noen dager en spesiell forsikring over telefon. La [tex]X[/tex] være tallet på slike forsikringer som hun klarer å selge i løpet av en dag. Sannsynlighetsfordelingen til [tex]X[/tex] er da:

Code: Select all

   x  | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6 
P(X=x)| 0,03 | 0,10 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,10 | 0,02

a) Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]X[/tex].

b) Hun får en fast dagslønn på 500 kr pluss 150 kr for hver forsikring hun klarer å selge. Da er
[tex]L = 500+150X[/tex]
lønnen hennes på en tilfeldig valgt dag hun jobber.
Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]L[/tex].


Oppgave 3
Et eiendomsmeglerfirma har to selgere, A og B, som bare selger eneboliger. La [tex]X[/tex] være tallet på boliger som A selger i løpet av ei uke. La [tex]Y[/tex] være tallet på boliger som B selger i løpet av ei uke. [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] har da denne sannsynlighetsfordelingen:

Code: Select all

   x   | 0    | 1    | 2    | 3    | 4
P(X=x) | 0,15 | 0,10 | 0,50 | 0,20 | 0,05

Code: Select all

   y   | 0    | 1    | 2    | 3    | 4
P(Y=y) | 0,25 | 0,35 | 0,25 | 0,10 | 0,05 

a) Finn forventningsverdien til [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex].

b) Finn variansen til [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex].

c) La [tex]Z=X-Y[/tex] og anta at [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] er uavhengige.
Finn [tex]E(Z)[/tex] og [tex]Var(Z)[/tex]

d) Finn sannsynligheten for at selger A selger akkurat én enebolig mer enn selger B i uka.


Oppgave 4
Vi antar at sannsynligheten [tex]p[/tex] for at en tilfeldig valgt seriekamp i fotball ender uavgjort, er 0,20. I løpet av en sesong skal det spilles 182 kamper i vår øverste serie, Tippeligaen. La X være tallet på kamper som ender uavgjort i Tippeligaen i løpet av en sesong.

a) Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]X[/tex].

b) Finn [tex]P(30 \leq X \leq 42)[/tex].

c) Finn [tex]P(X\geq 43)[/tex].

d) Finn sannsynligheten for at [tex]X[/tex] ligger mindre enn to standardavvik fra forventningsverdien.


Oppgave 5
Det er kjent at lengden [tex]X[/tex] i døgn av et tilfeldig svangerskap som ikke ender i abort, er normalfordelt med forventningsverdi [tex]\mu = 266[/tex] og standardavvik [tex]\sigma = 16[/tex].

a) En kvinne mener hun til sammen var gravid i 234 døgn, men hun var under hele svangerskapet litt i tvil på om hun hadde regnet 1 måned feil.
Finn sannsynligheten for at et tilfeldig svangerskap varer i høyst 234 døgn.

b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt svangerskap varer mellom 258 døgn og 274 døgn.


Oppgave 6
Det er avholdt skolevalg ved en stor videregående skole. Resultatene viser at 30 % av elevene som stemte, stemte på Sosialistisk Venstreparti (SV). Dagen etter ble 30 tilfeldig valgte elever som stemte intervjuet om valget.
Finn sannsynligheten for at minst 10 av disse elevene stemte SV.


Noen som er interessert i å løse noen oppgaver og sammenligne svar?

[193]

Er det noen her som tar/har tatt Matematikk X som privatist? Vet vedkommende i så fall om det da kreves at man skriver de tre selvstendig utforskende arbeidende som er påkrevet i læreplanen (til privatisteksamen)?

[Realist1]

Fint hvis noen i alle fall har et svar på [tex]P( \mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma )[/tex] i oppgave 4.

[Realist1]

Og kan det stemme at sannsynligheten i oppgave 6 er 0,34457 ?

[Markonan]

Fint hvis noen i alle fall har et svar på [tex]P( \mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma )[/tex] i oppgave 4.

Er det ikke bare å konvertere til standard normalfordeling å slå opp i tabellen?

Svaret skal vel også bli omkring 0.90, om jeg ikke husker galt.
Edit: Eller 0.95 er vel mer presist.

[Realist1]

Ok, i normalfordelingstabellen står det:
[tex]\Phi (2,00) = 0,9772 \\ \Phi (-2,00) = 0,0228[/tex]
altså blir sannsynligheten for at det kommer i dette intervallet, lik 0,9544, ikke sant?

Men hvis vi ser på oppgaven, så skal vi først i oppgave a) finne forventningsverdien og standardavviket til X.
Det gjør man jo slik:
[tex]\mu = E(X) = n \cdot p = 182 \cdot 0,20 = \underline{\underline{36,4}}[/tex]
og
[tex]\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{182 \cdot 0,20 \cdot 0,80} = \sqrt{29,12} = \underline{\underline{5,40}}[/tex]

At antallet ligger mindre enn to standardavvik fra forventningsverdien, betyr da at oppsettet blir slik:
[tex]P(36,4-10,8 < X < 36,4 + 10,8) = P(25,6 < X < 47,2) = P(26 \leq X \leq 47)[/tex]

Taster følgende inn på kalkulatoren:

Code: Select all

Sum Seq(182CX * 0,20^X * 0,80^(182-X),X,26,47,1)

noe som dessverre returnerer Error. Jeg blir fortalt at det er fordi tallene er for store, og tenker da at siden forventningsverdien er toppunktet på normalfordelingsklokkekurven ( ), og den er symmetrisk langs førsteaksen, tenker jeg at:
[tex]P(26 \leq X \leq 47) = 2 \cdot P(26 \leq X \leq 36)[/tex]
Intervallet [26, 36] fikser kalkulatoren, og spytter ut svaret 0,4964. Jeg ganger altså dette med 2, og ender opp med svaret 0,9928, noe som jo må sies å være en del unna 0,9544 som det er i følge normalfordelingstabellen.

Noen kloke ord?

[Markonan]

Ganske sikker på at det riktige svaret er 95.44%, men jeg kan ikke plukke ut noen spesielle feil i begrunnelsen til det du gjør. Har derimot noe tvil til kalkulatoren. For store tall? 0.4964?

Se på dette bildet:


Alt mellom -2sigma og 2sigma er
2*34.1 + 2*13.6 = 68.2 + 27.2 = 95.4

Men det du skulle fått ved å se på P(26 < X < 36) skulle blitt 13.6 + 34.1 = 47.7

Kan ikke skjønne annet enn at det er noe muffens med det kalkisen gjør. Hva sier den hvis du plotter my = 0, std = 1 og ser på området -1 til 1? Det skal jo bli 68.2.

[Realist1]

Da får jeg 0,68268. Når jeg plotter intervallet [26, 47] inn i normalfordelingsfunksjonen på kalkulatoren, med 36,4 som forventningsverdi og 5,4 som standardavvik, så får jeg svaret 0,94811 til svar.

Men fordi vi har et begrenset antall hendelser (182), og vi gjør et heltallig antall trekninger (X), så velger jeg å bruke Sum Seq-funksjonen, altså summere P(X=26), P(X=27) og videre opp til P(X=36), og deretter ganger svaret (0,4964) med 2. Du ser jeg bruker en binomisk modell for å finne sannsynligheten (kopierte inn koden i posten over). Syns det er litt merkelig.

[Realist1]

Skitt heller. Jeg gjør det manuelt.

[tex]P(X=26) = {182 \choose 26} \cdot 0,20^{26} \cdot 0,80^{156} = 0,011234 \\ P(X=27) = {182 \choose 27} \cdot 0,20^{27} \cdot 0,80^{155} = 0,016227 \\ P(X=28) = {182 \choose 28} \cdot 0,20^{28} \cdot 0,80^{154} = 0,022457 \\ P(X=29) = {182 \choose 29} \cdot 0,20^{29} \cdot 0,80^{153} = 0,029814 \\ P(X=30) = {182 \choose 30} \cdot 0,20^{30} \cdot 0,80^{152} = 0,038012 \\ P(X=31) = {182 \choose 31} \cdot 0,20^{31} \cdot 0,80^{151} = 0,046596 \\ P(X=32) = {182 \choose 32} \cdot 0,20^{32} \cdot 0,80^{150} = 0,054969 \\ P(X=33) = {182 \choose 33} \cdot 0,20^{33} \cdot 0,80^{149} = 0,062464 \\ P(X=34) = {182 \choose 34} \cdot 0,20^{34} \cdot 0,80^{148} = 0,068435 \\ P(X=35) = {182 \choose 35} \cdot 0,20^{35} \cdot 0,80^{147} = 0,072346 \\ P(X=36) = {182 \choose 36} \cdot 0,20^{36} \cdot 0,80^{146} = 0,073853 [/tex]

Summerer dette og får 0,496407. Prøver de 11 siste for sikkerhets skyld.

[Realist1]

[tex]P(X=37) = {182 \choose 37} \cdot 0,20^{37} \cdot 0,80^{145} = 0,072855 \\ P(X=38) = {182 \choose 38} \cdot 0,20^{38} \cdot 0,80^{144} = 0,069500 \\ P(X=39) = {182 \choose 39} \cdot 0,20^{39} \cdot 0,80^{143} = 0,064154 \\ P(X=40) = {182 \choose 40} \cdot 0,20^{40} \cdot 0,80^{142} = 0,057337 \\ P(X=41) = {182 \choose 41} \cdot 0,20^{41} \cdot 0,80^{141} = 0,049646 \\ P(X=42) = {182 \choose 42} \cdot 0,20^{42} \cdot 0,80^{140} = 0,041667 \\ P(X=43) = {182 \choose 43} \cdot 0,20^{43} \cdot 0,80^{139} = 0,033915 \\ P(X=44) = {182 \choose 44} \cdot 0,20^{44} \cdot 0,80^{138} = 0,026785 \\ P(X=45) = {182 \choose 35} \cdot 0,20^{35} \cdot 0,80^{137} = 0,020535 \\ P(X=46) = {182 \choose 46} \cdot 0,20^{46} \cdot 0,80^{136} = Error \\ P(X=47) = {182 \choose 47} \cdot 0,20^{47} \cdot 0,80^{135} = Error [/tex]

Kjipe greier da.
Summerer intervallet [37, 45] og får 0,436394. Dette pluss 0,496407 blir 0,932801.

Altså har vi at [tex]P(26 \leq X \leq 45) = 0,9328[/tex]. Hva med 46 og 47?

[Markonan]

Tar de to siste i Matlab.

Code: Select all

>> nchoosek(182,46)*0.20^46*0.80^136

ans =

    0.0153

>> nchoosek(182,47)*0.20^47*0.80^135

ans =

    0.0111

>> 

Som gir
P(26 < X < 47) = 0.9592

Men fikk forresten opp følgende advarsel:

Code: Select all

Warning: Result may not be exact. Coefficient is greater than 10^15,
         and is only good to 15 digits.

så vi kan ha noen små avrundingsfeil.

Noe annet jeg tenkte på var det du nevnte med at det bare var 182 kamper, og normalfordelingen er jo en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling. Hadde det vært mange tusen kamper hver sesong hadde det nok vært tilnærmet normalfordelt, men vi har bare 182 kamper, og da kan det fort se sånn ca sånn ut (bare googlet og tok noe som lignet, men det illustrerer poenget mitt):


Selv om det er normalfordelt, er det rett og slett ikke nok data til at vi kan regne på det som om det er kontinuerlig. Men dette tror jeg kanskje begynner å gå litt utover det dere har i kurset?

[Realist1]

Vi har jo også lært at jo større tallene er, desto mer er det normalfordelt, men ikke noe særlig mer enn det. Jeg tenkte også at 182 kanskje var for lite og at eksakt binomialregning kunne bli for lite samsvarende med normalfordelingen, men det burde jo ikke det. Du ser også at de forskjellige heltallssannsynlighetene ikke er synkrone over og under 36,4 kamper, så det var altså der jeg gjorde feil, da jeg antok at men bare kunne gange med 2. Som sagt, plotter jeg det inn i normalfordelingsfunksjonen på kalkulatoren, så får jeg som sagt 0,94811 til svar. Det tenkte jeg ikke på under prøven (hadde helt glemt at denne funksjonen fantes), men jeg tipper dette er et ganske riktig svar. Ergrer meg litt over det.

Prøvde å bare trykke inn 182C46, men det gikk ikke. Kanskje ikke uforståelig, ettersom 182C45 er over 10[sup]43[/sup]. Syke størrelser på disse tallene.

Oppgave 6, da, noen?

[Markonan]

Merker jeg er rusten på statistikken, men tror det på oppgave 6 kan lønne seg å huske at:
[tex]P(X \geq 10) = 1 - P(X < 9)[/tex]

Det blir kanskje fortsatt en del regnearbeid, men arbeidsmengden er i hvert fall litt redusert.

[Janhaa]

opgave 6

[tex]Bin(n, p) = Bin(30, 0.3)[/tex]
[tex]\text legg merke til at Bin(n,p) \sim N(\mu,\sigma)[/tex]
[tex]\text siden n*p = 9 > 5 og n*p*(1-p) = 6.3 > 5[/tex]
[tex]\text slik at N(9, 2.5)[/tex]
[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)[/tex]

osv

[Realist1]

[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)[/tex]

Så langt kom jeg også, men jeg kom egentlig ikke på noen bra måte å gjøre dette på likevel, bortsett fra i så fall å regne ut sannsynligheten separat for både X= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Er det en lettere måte å gjøre det på?