Derivasjon

[akihc]

Oppgave 45:

Deriver uttrykket:

[tex]\frac{1}{2}(x \cdot \sqrt{x^2+1}+ln|x+\sqrt{x^2+1}|[/tex]

Prøvde slik;

[tex]\frac{1}{2} \cdot ( (1\cdot \sqrt{x^2+1}+x\cdot \sqrt{x^2+1})+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \: \: [/tex] (For første ledd i parentes er det brukt produktregel)

[tex]\frac{1}{2} \cdot ( \sqrt{x^2+1}+x \cdot \sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) [/tex]

Hvis riktig til hit hvordan forkorter man enda mer?

På forhånd takk!

[meCarnival]

Du har glemt noen faktorer her som kommer ved bruk av kjerneregelen...
Prøv på nytt, men veldig bra forsøk og ikke så langt unna ved ny regning tenker jeg... ...

[akihc]

Deriver uttrykket:

[tex]\frac{1}{2}(x \cdot \sqrt{x^2+1}+ln|x+\sqrt{x^2+1}|[/tex]

Prøver:
Bruker produktregel og kjerneregel for første ledd, og kjerneregel for andre ledd og får;

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}))[/tex]

Riktig hittil?

[Stone]

Du glemmer kjerneregelen litt..
F.eks på [tex]ln({x+{\sqrt{x^2+1}}})[/tex] Må kjerneregelen benyttes to ganger

[FredrikM]

En grei huskeregel kan være alltid å bruke kjerneregelen, selv der du ikke trenger den. Ta f.eks funksjonen [tex]f(x)=\ln x[/tex]. Man trenger ikke bruke kjerneregelen, men la oss gjøre det likevel, med [tex]x[/tex] som kjerne.

[tex]f^\prime(x) = [x]^\prime [\ln x]^\prime = 1\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}[/tex]

Det kommer ikke som noen stor overraskelse at svaret blir riktig likevel.

[akihc]

Deriver uttrykket:

[tex]\frac{1}{2}(x \cdot \sqrt{x^2+1}+ln|x+\sqrt{x^2+1}|[/tex]

Prøver:
Bruker produktregel og kjerneregel for første ledd, og kjerneregel for andre ledd og får;

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}) \cdot 2x)[/tex]

Prøver å trekker sammen og får:

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (2x + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}))[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{(2x + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})}{x+\sqrt{x^2+1}} )[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{\frac{4x\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}} + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} )[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{\frac{4x\sqrt{x^2+1}+2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} )[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{4x\sqrt{x^2+1}+2x}{2x\sqrt{x^2+1}+2(x^2+1)} )[/tex]

[tex]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{4x\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}+2(x^2+1)}+\frac{2x}{2x\sqrt{x^2+1}+2(x^2+1)} )[/tex]

Hvor ligger feilen hittil?

[meCarnival]

Når jeg tar [tex]ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex] på 89'n får jeg [tex]\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex] som svar...

Og kjører du to siste leddene dine sammen så får jeg et stygt uttrykk på kalkis'n... Aner noe feil her, men ser ikke noe... Kan være noe med selve deriverasjonen av logaritme uttrykket...

[akihc]

Ok, prøver å derivere logaritmeuttrykket;

[tex](ln|x+\sqrt{x^2+1}|)^\prime=[/tex]
[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (x+\sqrt{x^2+1})^\prime=[/tex]
[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot ((x)^\prime +(\sqrt{x^2+1})^\prime)=[/tex]
[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1 +\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)^\prime)=[/tex]
[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}) \cdot 2x=[/tex]

Dette satte jeg i stykket i forrige innlegg.Hvis dette er riktig, lurer på hvor feilen ligger i stykket i forrige innlegg?

[meCarnival]

det er første steget der jeg får kun ut som [tex]\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

[Markonan]

Først av alt: på så stygge derivasjoner lønner det seg å stykke dem opp om man kan det. Du har i utgangspunktet (bruker D[] i stedet for ' for å markere derivasjon):

[tex]D[\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + 1} + \ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|)][/tex]

Ganger inn den halve på begge leddene.
[tex]D[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|][/tex]

Deriverer hvert ledd for seg.
[tex]D[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1}] + D[\frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|][/tex]

Setter til slutt konstantene utenfor.
[tex]\frac{1}{2}D[x\sqrt{x^2 + 1}] + \frac{1}{2}D[\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|][/tex]

Jeg deriverte ln-uttrykket i Maple, og fikk ut:
[tex]D[\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|] \;=\; \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Dobbelsjekker i Matlab.

Code: Select all

>> syms x
>> diff(log(x + sqrt(x^2 + 1)),x)
 
ans =
 
(1+1/(x^2+1)^(1/2)*x)/(x+(x^2+1)^(1/2))
 

Har også et spørsmål: hvor i all verden fant du dette monsteret av en oppgave?

Edit: Screenshot fra Maple med oppgaven.


Edit 2: Det du gjorde i forrige innlegg ser veldig riktig ut.

[Markonan]

Forresten er
[tex]\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}[/tex]

[meCarnival]

Men kun utregningen av [tex]ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex] skulle jeg gjerne likt å sett.. Syk oppgave synes nå jeg hvertfall...

[drgz]

Men kun utregningen av [tex]ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex] skulle jeg gjerne likt å sett.. Syk oppgave synes nå jeg hvertfall...

håper jeg ikke misforsod hva du ville se, men her er nå i alle fall derivasjonen for det uttrykket

[tex]ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\left(1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x^2+1 }}\right)2x\right)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]

ser forresten nå at markonan også har lagt ved bilde av samme greia

[meCarnival]

Ja, jeg blingset litt forskjellig på hva jeg trodde var uttrykket som skulle deriveres og svaret.. så tenkte litt feil... Men postet akkurat det lengre oppe selv

[akihc]

Jeg prøver å trekke ledd for ledd og begynner med å trekke dette leddet sammen og rekker til;
[tex]\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \;=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}+\frac{x}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}=[/tex]

Ka skjer videre?

Takker for svarene jeg får fra dere.Fin illustrasjon Markonan(oppgaven lå under kapittel for integrasjon der svaret for den deriverte er integranden i det oppgitte integralet i oppgaven,litt av en hulkenoppgave ja ) .